Question

【題目】教材呈現(xiàn)：下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．

猜想

如圖，在中，點(diǎn)、分別是與的中點(diǎn)．根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

，且．

對此，我們可以用演繹推理給出證明．

定理證明：請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程．

定理應(yīng)用：

在矩形ABCD中，，AC為矩形ABCD的對角線，點(diǎn)E在邊AB上，且．

（1）如圖②，點(diǎn)F在邊CB上，連結(jié)EF．若，則EF與AC的關(guān)系為______________．

（2）如圖③，將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，連結(jié)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連結(jié)BH．設(shè)BH的長度為．若，則的取值范圍為___________．

Answer 1

【答案】定理證明：見解析；定理應(yīng)用：（1）EF∥AC，；（2）≤m ≤ ．

【解析】

定理證明：利用及∠A＝∠A可證得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得證；

定理應(yīng)用：（1）利用及∠B＝∠B可證得△BEF∽△BAC，進(jìn)而再利用相似三角形的性質(zhì)即可證得EF與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

（2）取AC中點(diǎn)F，連接BF、HF，易證得BF＝AC＝，HF＝AE'＝，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到m的取值范圍．

定理證明：

∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，

∴．

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE＝∠ABC，，

∴DE∥BC，且．

定理應(yīng)用：

（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵∠B＝∠B，

∴△BEF∽△BAC，

∴∠BEF＝∠BAC，，

∴EF∥AC，．

（2）解：如圖，取AC中點(diǎn)F，連接BF、HF，

在矩形ABCD中，∠B＝90°，BC＝AD，

又∵，

∴BC＝2，

∴在Rt△ABC中，

∵∠B＝90°，點(diǎn)F分別為AC的中點(diǎn)，

∴，

∵，，

∴

∵點(diǎn)H、F分別為CE'、AC的中點(diǎn)，

∴，

∴當(dāng)點(diǎn)H、F、B不在同一直線上時，＜m＜，

當(dāng)點(diǎn)H、F、B在同一直線上時，m＝或m＝，

綜上所述，m的取值范圍是≤m ≤．