【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(0,4),點B的坐標為(4,4),點C的坐標為(4,0),點D是x軸上(在點O右側(cè))任意一點,以AD為邊向右側(cè)作正方形ADEF,連接BF,設(shè)點D的坐標為(t,0)處.
(1)求證:△AOD≌△ABF;
(2)求點E的坐標(用含有t的代數(shù)式來表示);
(3)當△DBE是等腰三角形時,請直接寫出t的值.
【答案】(1) 見解析;(2) E(4+t,t) (3) 2,4,8.
【解析】
(1)由四邊形ABCO和ADFE是正方形,得∠AOD=∠ABF=90°,AO=AB=4,AD=AF,即可利用HL證明△AOD≌△ABF;
(2)過點E作EH⊥x軸于點H,然后證明△AOD≌△DHE,得到DH=OA=4,OD=EH=t,即可得到點E的坐標;
(3)由(2)知點D為(t,0),點B為(4,4),點E為(4+t,t),利用勾股定理求出BD、BE、DE的長度,由△DBE是等腰三角形時,可分為三種情況進行討論,即當BD=DE,BD=BE,DE=BE時,求出t的值即可.
(1)證明:根據(jù)題意,OA=OC=AB=BC=4,∠AOC=90°,
∴四邊形ABCO是正方形,
∴∠AOC=∠ABF=90°,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,
∴△AOD≌△ABF(HL);
(2)解:如圖:過點E作EH⊥x軸于點H,
∵∠AOD=∠ADE=90°,
∴∠OAD+∠ADO=∠EDH+∠ADO=90°,
∴∠OAD=∠EDH,
∵AD=DE,∠AOD=∠DHE=90°,
∴△AOD≌△DHE(AAS),
∴AO=DH=4,OD=EH=t,
∴OH=4+t,
∴點E的坐標為:(4+t,t);
(3)由(2)可知,點D為(t,0),點B為(4,4),點E為(4+t,t),
∴,,,
∵△DBE是等腰三角形,
當BD=DE時,有
,
解得:;
當BD=BE時,有
,
解得:或(舍去);
當DE=BE時,有
,
解得:或(舍去);
∴當,4或8時,△DBE是等腰三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某場足球比賽中,球員甲在球門正前方點O處起腳射門,在不受阻擋的情況下,足球沿如圖所示的拋物線飛向球門中心線,當足球飛行的水平距離為2 m時,高度為,落地點A距O點12 m.已知點O距球門9 m,球門的橫梁高為2.44 m.
(1)飛行的足球能否射入球門?通過計算說明理由;
(2)若守門員乙站在球門正前方2 m處,他跳起時能摸到的最大高度為2.52 m,他能阻止此次射門嗎?并寫明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成相應(yīng)的任務(wù):
我們知道,利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線可以得到該線段的中點、四等分點、……怎樣得到線段的三等分點呢?如圖,已知線段MN,用尺規(guī)在MN上求作點P,使.
小穎的作法是:
①作射線MK(點K不在直線MN上);
②在射線MK上依次截取線段MA,AB,使,連接BN;
③作射線,交MN于點P點P即為所求作的點.
小穎作法的理由如下:
∵(作法),∴
∵(已知),(等量代換)
∵(線段和差定義),∴(等量代換,等式性質(zhì))
數(shù)學(xué)思考:(1)小穎作法理由中所缺的依據(jù)是:________________________________.
拓展應(yīng)用:(2)如圖,已知線段a,b,c,求作線段d,使
a. b. c.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點A,C的坐標分別為A(﹣3,0),C(1,0),BC=AC.
(1)在x軸上找一點D,連接DB,使得△ADB與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標;
(2)在(1)的條件下,如P,Q分別是AB和AD上的動點,連接PQ,設(shè)AP=DQ=m,問是否存在這樣的m,使得△APQ與△ADB相似?如存在,請求出m的值;如不存在,請說明理由.
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【題目】作圖題:如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1,并直接寫出C1點坐標;
(2)以原點O為位似中心,位似比為1:2,在y軸的左側(cè),畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2,并直接寫出C2點坐標;
(3)如果點D(a,b)在線段AB上,請直接寫出經(jīng)過(2)的變化后D的對應(yīng)點D2的坐標.
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【題目】如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測角器的高度忽略不計,結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):1.414,1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,如果AB=5,AE=4,BC=8,有下列結(jié)論:
①DE=4;
②S△AED=S四邊形ABCD;
③DE平分∠ADC;
④∠AED=∠ADC.
其中正確結(jié)論的序號是_____(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)
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【題目】如圖,在△ABC中,點BD⊥AC于點D,DE⊥AB于點E,BD2=BCBE.
(1)求證:△BCD∽△BDE;
(2)如果BC=10,AD=6,求AE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(,),點Q的坐標為(,),且,,若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點P,Q 的“相關(guān)矩形”的示意圖.
(1)已知點A的坐標為(1,0).
①若點B的坐標為(3,1)求點A,B的“相關(guān)矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達式;
(2)⊙O的半徑為,點M的坐標為(m,3).若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,求m的取值范圍.
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