Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，等邊三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），另一個(gè)頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）如果一個(gè)四邊形是以它的一條對(duì)角線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”．點(diǎn)Q在（1）的拋物線上，且以O(shè)、A、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是“箏形”，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點(diǎn)Q與⊙M的位置關(guān)系，并通過計(jì)算說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)B，則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將點(diǎn)A代入即得到方程式；
（2）（�。┊�(dāng)以O(shè)A、OB為邊時(shí)，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點(diǎn)Q．（ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時(shí)，由對(duì)稱性求得Q．（ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時(shí)，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形．求得點(diǎn)Q．
（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，求得△OMC∽△OQD．從而求得點(diǎn)M，進(jìn)而求得MQ，從而求得點(diǎn)Q的位置．

解答：解：（1）過B作BC⊥x軸于C．
∵等邊三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），
∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°．
∴BC=OCtan60°=

3

．
∴B(1，

3

)．
設(shè)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的
解析式為：y=a(x-1)2+

3

．
將A（2，0）代入得：a(2-1)2+

3

=0，
解得a=-

3

．
∴經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-

3

(x-1)2+

3

．
即y=-

3

x2+2

3

x；

（2）依題意分為三種情況：
（ⅰ）當(dāng)以O(shè)A、OB為邊時(shí)，
∵OA=OB，
∴過O作OQ⊥AB交拋物線于Q．
則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°．
作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，
設(shè)Q(x，-

3

x2+2

3

x)，則-

3

x2+2

3

x=xtan30°．
解得：x=

5

3

．
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)．
（ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時(shí)，由對(duì)稱性可知Q(

1

3

，

5 3

9

)．
（ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時(shí)，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形．
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)或(

1

3

，

5 3

9

)．

（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．
由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，
當(dāng)Q(

5

3

，

5 3

9

)時(shí)，
∵M(jìn)C∥QD，
∴△OMC∽△OQD．
∴

MC

QD

=

OC

OD

．
∴MC=

OC•QD

OD

=

3

3

．
∴M(1，

3

3

)．
∴MQ=

(1- 5 3 )2+( 3 3 - 5 3 9 )2

=

4 3

9

．
又BM=

2 3

3

，
∵

4 3

9

＜

2 3

3

，
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)在⊙M內(nèi)．
當(dāng)Q(

5

3

，

5 3

9

)時(shí)，由對(duì)稱性可知點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．
綜述，點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）先求出點(diǎn)B，則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將點(diǎn)A代入即得到方程式；（2）（�。┊�(dāng)以O(shè)A、OB為邊時(shí)，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點(diǎn)Q．（ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時(shí)，由對(duì)稱性求得Q．（ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時(shí)，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形．求得點(diǎn)Q．（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，求得△OMC∽△OQD．從而求得點(diǎn)M，進(jìn)而求得MQ，從而求得點(diǎn)Q的位置．本題有一定難度，思路性強(qiáng)．