Question

如圖①，某產品標志的截面圖形由一個等腰梯形和拋物線的一部分組成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=20cm，DC=30CM，∠ADC=45度．對于拋物線部分，其頂點為CD的中點O，且過A、B兩點，開口終端的連線MN平行且等于DC．
（1）如圖①所示，在以點O為原點，直線OC為x軸的坐標系內，點C的坐標為（15，0），試求A、B兩點的坐標；
（2）求標志的高度（即標志的最高點到梯形下底所在直線的距離）；
（3）現根據實際情況，需在標志截面圖形的梯形部分的外圍均勻鍍上一層厚度為3cm的保護膜，如圖②，請在圖中補充完整鍍膜部分的示意圖，并求出鍍膜的外圍周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形來求A、B的坐標，作AE⊥DC，BF⊥DC，垂足分別為E、F；OF就是B點的橫坐標，BF就是B點的縱坐標．不難得出OF=AB=10cm，在直角三角形BFC中，FC=（CD-AB）=5cm，∠BCF=45°，即可求出BF的長，也就得出了B點的坐標，A、B關于y軸對稱，也就能求出A點的坐標；
（2）標志物的高度其實就是M、N兩點的縱坐標．由于MN∥=CD，因此如果連接MD、NC，四邊形MDCN就是矩形，那么M、N兩點的坐標和D、C兩點的橫坐標相等，可根據A、B兩點的坐標先確定出拋物線的解析式，然后根據拋物線的解析式來求出M、N兩點的坐標，即可得出標志物的高度；
（3）經過畫圖不難得出鍍膜外圍的周長應該是四條線段和四段圓弧的長．四條線段就是梯形的周長，而四段圓弧分別是兩個圓心角為45°半徑為3cm的弧長（A，B兩個頂點所對的弧長）以及兩個圓心角為135°半徑為3cm的弧長（C、D兩個頂點所對的弧長）．然后可根據各自的計算公式求出鍍膜外圍的周長．
解答：解：（1）作AE⊥DC，BF⊥DC，垂足分別為E，F，
∵AB∥DC
∴四邊形AEFB為矩形
∴AE=BF，AB=EF=20
又∵AD=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）
∴DE=FC=（30-20）=5
又∵∠ADE=∠BCF=45°
∴AE=BF=DE=FC=5
又∵OD=OC=15
∴OE=OF=10
∴點A，B的坐標分別為（-10，5），（10，5）；

（2）設拋物線的函數解析式為y=ax²，
由點B（10，5）在其圖象上得5=100a，解得a=，
∴拋物線的函數解析式為y=x²，
又∵MN∥DC，且MN=CD
∴點M，N關于y軸對稱
∴點N的橫坐標為15，
代入y=x²得y=
故標志的高度為cm；

（3）鍍膜示意圖如下：
由示意圖可知，鍍膜外圍周長l由四條線段長和四條半徑為3cm的弧長構成，
故l=5×2+20+30+×2+×2=10+50+6π．
所以鍍膜的外圍周長為（10+50+6π）cm．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、等腰梯形的性質，三角形全等等知識點，考查學生數形結合的數學思想方法．