Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：∠PCB=∠A；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，求證：AM²=MN•MC．

Answer 1

證明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A；

（2）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線；（3分）

（3）連接MA，MB，
∵點M是弧AB的中點，
∴弧AM=弧MB
∴∠BCM=∠ABM（同圓中，相等的弧所對的圓周角相等），
∴△MBN∽△MCB．
∴BM²=MN•MC．
∴AM²=MN•MC．