【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,圖象經(jīng)過B(﹣3,0)、C(0,3)兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)A.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使△ACM周長最短,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn),直接寫出使△BPC為直角三角形時點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,2)時,△ACM周長最短;(3)使△BPC為直角三角形時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),(﹣1,),(﹣1,)或(﹣1,4).
【解析】
(1)由拋物線的對稱軸及點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo),由點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接BC,交直線x=-1于點(diǎn)M,此時△ACM周長最短,由點(diǎn)B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式,再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,m),結(jié)合點(diǎn)B,C的坐標(biāo)可得出PB2,PC2,BC2的值,分∠BCP=90°,∠CBP=90°,∠BPC=90°三種情況考慮,①當(dāng)∠BCP=90°時,利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)∠CBP=90°時,利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);③當(dāng)∠BPC=90°時,利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).綜上,此題得解.
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,0),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).
將A(1,0),B(﹣3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,
得:,
解得:,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣2x+3.
(2)連接BC,交直線x=﹣1于點(diǎn)M,如圖1所示.
∵點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=﹣1對稱,
∴AM=BM.
∵點(diǎn)B,C,M三點(diǎn)共線,
∴此時AM+CM取最小值,最小值為BC.
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+d(k≠0),
將B(﹣3,0),C(0,3)代入y=kx+d,
得:,
解得:,
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3.
當(dāng)x=﹣1時,y=x+3=2,
∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,2)時,△ACM周長最短.
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,m),
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
∴PB2=[﹣3﹣(﹣1)]2+(0﹣m)2=m2+4,
PC2=[0﹣(﹣1)]2+(3﹣m)2=m2﹣6m+10,
BC2=[0﹣(﹣3)]2+(3﹣0)2=18.
分三種情況考慮(如圖2):
①當(dāng)∠BCP=90°時,BC2+PC2=PB2,
∴18+m2﹣6m+10=m2+4,
解得:m=4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4);
②當(dāng)∠CBP=90°時,BC2+PB2=PC2,
∴18+m2+4=m2﹣6m+10,
解得:m=﹣2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2);
③當(dāng)∠BPC=90°時,PB2+PC2=BC2,
∴m2+4+m2﹣6m+10=18,
整理得:m2﹣3m﹣2=0,
解得:m1=,m2=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,).
綜上所述:使△BPC為直角三角形時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),(﹣1,),(﹣1,)或(﹣1,4).
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是矩形外一點(diǎn),,,,連接AE交BD于點(diǎn)F、連接CF.
求證:四邊形BECO是菱形;
填空:若,則線段CF的長為______.
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【題目】如圖,點(diǎn)A(1,4)、B(2,a)在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,直線AB與x軸相交于點(diǎn)C,AD⊥x軸于點(diǎn)D.
(1)m= ;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)E,使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC邊上截取AD=BC,連接BD.
(1)通過計算,判斷AD2與ACCD的大小關(guān)系;
(2)求∠ABD的度數(shù).
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【題目】如圖,吊車在水平地面上吊起貨物時,吊繩BC與地面保持垂直,吊臂AB與水平線的夾角為,吊臂底部A距地面參考數(shù)據(jù),,.
當(dāng)?shù)醣鄣撞?/span>A與貨物的水平距離AC為5m時,吊臂AB的長為______計算結(jié)果精確到;
如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少?吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計
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【題目】已知:如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),且函數(shù)的最大值為9.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為C,與y軸交點(diǎn)為D,求四邊形ABCD的面積.
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【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個動點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形OACB為菱形,OB在x軸的正半軸上,∠AOB=60°,過點(diǎn)A的反比例函數(shù)y= 的圖像與BC交于點(diǎn)F,則△AOF的面積為 ______________.
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【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)y=+x,如表是y與x的幾組對應(yīng)值:
x | … | ﹣4 | ﹣3 | -2 | - | -1 | - | - | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |||
y | … | - | - | - | - | -2 | - | - | 2 | … |
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),根據(jù)描出的點(diǎn)畫出了此函數(shù)的圖象請你根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,根據(jù)畫出的函數(shù)圖象特征,對該函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究:
(1)該函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱;
(2)在y軸右側(cè),函數(shù)變化規(guī)律是當(dāng)0<x<1,y隨x的增大而減小;當(dāng)x>1,y隨x的增大而增大.在y軸左側(cè),函數(shù)變化規(guī)律是 .
(3)函數(shù)y=當(dāng)x 時,y有最 值為 .
(4)若方程+x=m有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是 .
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