Question

【題目】已知拋物線y=kx2+（k﹣2）x﹣2（其中k＞0）．

（1）求該拋物線與x軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（可以用含k的代數(shù)式表示）；

（2）若記該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P（m，n），直接寫出|n|的最小值；

（3）將該拋物線先向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，隨著k的變化，平移后的拋物線的頂點(diǎn)都在某個(gè)新函數(shù)的圖象上，求新函數(shù)的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，﹣）；（2）當(dāng)k=2時(shí)，|n|的最小值是2；（3）新函數(shù)的解析式為y=﹣﹣1．

【解析】試題分析：（1）令y=0，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（﹣）代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，然后利用絕對值的性質(zhì)，再根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答；

（3）根據(jù)左加右減，上加下減，寫出平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后消掉字母k即可得解．

試題解析：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，即（kx﹣2）（x+1）=0，解得：x1=，x2=﹣1，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）與（﹣1，0），﹣=﹣=﹣==﹣，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，﹣）；

（2）根據(jù)（1），|n|=|﹣|===++1≥2+1=1+1=2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即k=2時(shí)取等號，∴當(dāng)k=2時(shí)，|n|的最小值是2；

（3）﹣+=，﹣+===﹣k﹣1，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，消掉字母k得：y=﹣﹣1，∴新函數(shù)的解析式為y=﹣﹣1．