Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CE分別切⊙O于點B、D，CE與BA的延長線交于點E，連接OC、OD．
（1）△OBC與△ODC是否全等？

 

（填“是”或“否”）；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，請你思考后，選用以上適當?shù)臄?shù)，設計出計算⊙O半徑r的一種方案：
①你選用的已知數(shù)是

 

；
②寫出求解過程．（結果用字母表示）

Answer 1

分析：（1）由切線和切線長定理可知，∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，OC=OC從而得到△OBC≌△ODC（HL）；
（2）可選擇a，b，c或其中的兩個．求由勾股定理求解或切割線定理求解．

解答：解：（1）△OBC與△ODC全等．
證明：∵CD、CB是⊙O的切線
∴∠ODC=∠OBC=90°
∵OD=OB，OC=OC
∴△OBC≌△ODC（HL）；

（2）①選擇a、b、c，或其中2個；
②若選擇a、b：由切割線定理：a²=b（b+2r），得r=

a2-b2

2b

若選擇a、b、c：
方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）²+c²=（a+c）²，得r=

a2+2ac -b

2

方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，

a

r

=

b+2r

c

，得r=

-b+ b2+8ac

4

方法三：連接AD，可證：AD∥OC，

a

c

=

b

r

，得r=

bc

a

若選擇a、c：需綜合運用以上的多種方法，得r=

c a2+2ac

a+2c

若選擇b、c，則有關系式2r³+br²-bc²=0．

點評：本題考查了切線的概念，切線長定理，勾股定理及全等三角形的判定等知識點的綜合運用．