Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-2，0），B（3，0），C（5，6），過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交y軸于點(diǎn)D．
（1）若直線(xiàn)y=kx+b過(guò)B、C兩點(diǎn)，求k、b的值．
（2）如圖，P是線(xiàn)段BC上的點(diǎn)，PA交y軸于點(diǎn)Q，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，求S_PCDQ；
（3）設(shè)點(diǎn)E在線(xiàn)段DC上，AE交y軸于點(diǎn)F，若∠CEB=∠AFB，求cos∠BAE的值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)y=kx+b過(guò)B、C兩點(diǎn)，
所以，
解得．

（2）因?yàn)閥=3x-9，令x=4，則y=3．即P（4，3）．
設(shè)AP：y=kx+b，則
，即．
所以AP的解析式為y=x+1，它與y軸的交點(diǎn)Q（0，1）．
所以S_PCDQ=梯形OBCD的面積-（三角形APB的面積-三角形AQO的面積）=（5+3）×6÷2-（3+2）×3÷2+2×1÷2=17.5；

（3）設(shè)OF=a，△ABE的高為NE．
∵△ABF與△ABE的底同是AB，且高分別為OF，NE，
∴，
∵∠A=∠A，∠CEB=∠ABE=∠AFB，
∴△ABF∽△AEB，
∴S_△ABF：S_△AEB=AF²：AB²，
∴（）²=，
∴AF²=•AB²=a．
在Rt△AOF中，由勾股定理，得
AF²=AO²+OF²=4+a²，
∴4+a²=a，6a²-25a+24=0，
解得a₁=，a₂=．
當(dāng)a=時(shí)，AN=12÷=4.5．則DE=ON=4.5-2=2.5，此時(shí)點(diǎn)E在DC上；
當(dāng)a=時(shí)，AN=12÷=8．則DE=ON=8-2=6＞5，此時(shí)點(diǎn)E不在DC上，故舍去．
∴當(dāng)a=時(shí)，AF=，
故cos∠BAE=．
分析：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)y=kx+b過(guò)B、C兩點(diǎn)，所以利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，所以可求出P（4，3）．
利用待定系數(shù)法求出AP的解析式，再求它與y軸的交點(diǎn)Q（0，1）．
所以S_PCDQ=梯形OBCD的面積-（三角形APB的面積-三角形AQO的面積）=（5+3）×6÷2-（3+2）×3÷2+2×1÷2=17.5；
（3）可設(shè)OF=a，△ABE的高為NE，因?yàn)椤鰽BF與△ABE的底同是AB，且高分別為OF，NE，所以，又因∠CEB=∠ABE=∠AFB，所以可求△ABF∽△AEB，S_△ABF：S_△AEB=AF²：AB²，進(jìn)而有AF²=•AB²=a．
Rt△AOF中，由勾股定理，得AF²=AO²+OF²=4+a²，可解得a的值，進(jìn)而求出AF的值，解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，利用待定系數(shù)法和相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．