Question

（2013•竹溪縣模擬）如圖BE是⊙O的直徑，點A是⊙O上一點，連結(jié)AE，延長BE至點P，連結(jié)PA，∠PAE=∠ABE，過點A作AC⊥BE于點C，點D是BO上一點，直線AD交⊙O于點F，連結(jié)FE與直線AC交于點G．
（1）直線PA是否為⊙O的切線，并證明你的結(jié)論；
（2）若PE=4，tan∠EAC=

1

2

，求⊙O的半徑的長；
（3）求證：AE²=EG•EF．

Answer 1

分析：（1）連接OA，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和已知求出∠ABE=∠BAO=∠PAE，求出∠BAE=∠PAO=90°，根據(jù)切線判定推出即可．
（2）設(shè)CE=x，AC=2x，證△ACB∽△ECA，求出BC=4x，求出OA=OE=2.5x，在Rt△PAO和Rt△PCA中，由勾股定理得出PA²=PC²+AC²=PO²-OA²，得出方程，求出x即可．
（3）求出∠EAC=∠AFE，∠AEF=∠AEG，推出△EAG∽∠EFA，得出

AE

EG

=

EF

AE

，即可得出答案．

解答：（1）直線PA為⊙O的切線，
證明：連接OA，
∵OA=OB，
∴∠ABE=∠BAO，
∵∠PAE=∠ABE，
∴∠PAE=∠BAO，
∴∠PAE+∠OAE=∠BAO+∠OAE，
∴∠BAE=∠PAO，
∵BE是⊙O直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∵OA為半徑，
∴直線PA為⊙O的切線；

（2）解：∵AC⊥BE，
∴tan∠EAC=

1

2

=

CE

AC

，
∴設(shè)CE=x，AC=2x，
∵AC⊥BE，∠BAE=90°，
∴∠ACE=∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠EAC=90°，∠EAC+∠AEC=90°，
∴∠BAC=∠AEC，
∵∠ACE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△ECA，
∴

AC

BC

=

CE

AC

，
∵CE=x，AC=2x，
∴BC=4x，
∴BE=x+4x=5x，
∴OA=OE=2.5x，
∵在Rt△PAO和Rt△PCA中，∠ACP=∠PAO=90°，由勾股定理得：PA²=PC²+AC²=PO²-OA²，
∴（4+x）²+（2x）²=（4+2.5x）²-（2.5x）²，
5x²-12x=0，
x₁=0（舍去），x₂=

12

5

，
∴OA=2.5x=2.5×

12

5

=6，
即⊙O的半徑的長是6；

（3）證明：∵AC⊥BE，
∴∠BAE=∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，∠ABE+∠AEC=90°，
∴∠ABE=∠EAC，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠EAC=∠AFE，
∵∠AEF=∠AEG，
∴△EAG∽∠EFA，
∴

AE

EG

=

EF

AE

，
∴AE²=EG•EF．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．