Question

如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上．
（1）求∠AED的度數；
（2）求證：AB=BC；
（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點，∠FBC=30°，求

DF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質、等邊三角形的性質以及直角三角形的兩個銳角互余進行求解；
（2）連接AC，根據等腰直角三角形的判定方法進行證明；
（3）連接AF，BF、AD的延長線相交于點G．根據三角形的內角和定理以及（2）的結論發(fā)現(xiàn)等邊三角形ABF，進一步發(fā)現(xiàn)全等三角形，即△BCF≌△GDF，從而求解．

解答：（1）解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
由等邊△DCE可知∠CDE=60°，
故∠ADE=45°．
由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．

（2）證明：由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故點A在線段DE的垂直平分線上．
由△DCE是等邊三角形得CD=CE，故點C也在線段DE的垂直平分線上．
∴AC就是線段DE的垂直平分線，即AC⊥DE．
連接AC，∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ACB=45°，
∴BA=BC．

（3）解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
連接AF，BF、AD的延長線相交于點G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，F(xiàn)B=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即點F是線段CD的中點．
∴

DF

FC

=1．

點評：此題主要是考查了等腰直角三角形的性質和判定、等邊三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定．