精英家教網(wǎng)如圖1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=75°,AB⊥BC,以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上.
(1)求∠AED的度數(shù);
(2)求證:AB=BC;
(3)如圖2所示,若F為線段CD上一點(diǎn),∠FBC=30°,△BFC的面積=4cm2,求AB的長(zhǎng)度.
分析:(1)根據(jù)直角梯形ABCD,得到∠DCB+∠ADC=180°,∠BAD=∠B=90°,求出∠ADC=105°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠EDC=∠DCE=60°,求出∠EDA=45°即可;
(2)連接AC,由∠EDA=∠ADE=45°,得到AE=AD,根據(jù)等邊三角形,得到CE=CD證△DCA≌△DCA,推出∠ECA=∠DCA=30°,求出∠CAB=45°,推出∠CAB=∠ACB即可;
(3)作FG⊥BC于G,由∠DCB=75°,∠CBF=30°,推出∠DCB=∠BFC,得到BC=BF,根據(jù)三角形的面積公式得到
1
2
BC×FG=4,求出BC=4,即可得出答案.
解答:解:(1)∵在直角梯形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DCB+∠ADC=180°,∠BAD=∠B=90°,
∵∠DCB=75°,
∴∠ADC=105°,
∵△DCE是等邊三角形,
∴∠EDC=∠DCE=60°,
∴∠EDA=45°,
∴∠AED=45°,
答:∠AED的度數(shù)是45°;

(2)證明:連接AC,精英家教網(wǎng)
∵∠AED=∠ADE=45°,
∴AE=AD
∵△DCE是等邊三角形,
∴CE=CD
∵AC=AC,
∴△DCA≌△ECA,
∴∠ECA=∠DCA=30°,
∵∠DCB=75°,
∴∠ACB=45°
∵∠B=90°,
∴∠CAB=45°,
∴∠CAB=∠ACB,
∴AB=BC;

(3)解:作FG⊥BC于G,精英家教網(wǎng)
∵∠DCB=75°,∠CBF=30°,
∴∠BFC=75°,
∴∠DCB=∠BFC,
∴BC=BF,
在Rt△BFG中,∠CBF=30°,
∴BF=2FG=BC,
1
2
BC×FG=4,
1
4
BC2=4cm2,
∴BC=4cm,
∴AB=BC=4cm,
即AB長(zhǎng)為4cm.
答:AB的長(zhǎng)度是4cm.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)直角梯形,全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵,題型較好,難度適中.
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(1)求∠AED的度數(shù);
(2)求證:AB=BC;
(3)如圖2所示,若F為線段CD上一點(diǎn),∠FBC=30°,求
DFFC
的值.
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A.10               B.16               C.18              D.32

 

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