Question

如圖（1），在△ABC中中，直線ME垂直平分AB，分別交AB、BC于點(diǎn)E、M，直線NF垂直平分AC，分別交AC、BC于點(diǎn)F、N．

（1）求證：△AMN的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)；
（2）結(jié)合（1）的啟發(fā)，解決下列問(wèn)題：如圖（2），在∠AOB=60°內(nèi)部有一定點(diǎn)P，且OP=4，試在OA、OB上確定兩點(diǎn)M、N，使△PMN周長(zhǎng)最短，并求出最短周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由直線PM為線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三邊之和，等量代換可得其周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)，由BC的長(zhǎng)即可得到三角形AMN的周長(zhǎng)．
（2）作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰三角形，據(jù)此即可求解．

解答：（1）證明：∵直線MP為線段AB的垂直平分線（已知），
∴MA=MB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
又∵直線NQ為線段AC的垂直平分線（已知），
∴NA=NC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∴△AMN的周長(zhǎng)l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代換），

（2）解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．
∵PC關(guān)于OA對(duì)稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=120°，OC=OD．
∵OP=4，
∴OC=OD=4，
∴CD=4

3

，
∴△PMN周長(zhǎng)最短值為4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線定理的運(yùn)用，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握線段垂直平分線定理是解本題的關(guān)鍵．