Question

如圖，點(diǎn)P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交⊙P于C，過(guò)點(diǎn)C的直線y=2x+b交x軸于D，且⊙P的半徑為

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，AB=4．
（1）求點(diǎn)B，P，C的坐標(biāo)；
（2）求證：CD是⊙P的切線；
（3）若二次函數(shù)y=-x²+（a+1）x+6的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出使二次函數(shù)值小于一次函數(shù)y=2x+b值的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接CA，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理，求出各線段的長(zhǎng)，進(jìn)而求出B，P，C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，證明△DAC≌△POB，然后得到∠DCA=∠ABC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DCA+∠ACB=90°，利用切線判定定理即可解答；
（3）把點(diǎn)B代入y=-x²+（a+1）x+6即可求出a的值，進(jìn)而求出函數(shù)解析式；求出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)，由圖可得結(jié)論．

解答：（1）解：如圖，連接CA．
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP²+BO²=BP²
∴OP²=5-4=1，OP=1．（2分）
∵BC是⊙P的直徑，
∴∠CAB=90°．（也可用勾股定理求得下面的結(jié)論）
∵CP=BP，OB=OA，
∴AC=2OP=2．（3分）
∴B（2，0），P（0，1），C（-2，2）．（寫錯(cuò)一個(gè)不扣分）（4分）

（2）證明：∵y=2x+b過(guò)C點(diǎn)，
∴b=6∴y=2x+6．（5分）
∵當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
∴D（-3，0）．
∴AD=1．（6分）
∵OB=AC=2，AD=OP=1，∠CAD=∠POB=90°，
∴△DAC≌△POB．
∴∠DCA=∠ABC．
∵∠ACB+∠CBA=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°．（也可用勾股定理逆定理證明）（7分）
∴DC是⊙P的切線．（8分）

（3）解：∵y=-x²+（a+1）x+6過(guò)B（2，0）點(diǎn)，
∴0=-2²+（a+1）×2+6．
∴a=-2．（9分）
∴y=-x²-x+6．（10分）
因?yàn)楹瘮?shù)y=-x²-x+6與y=2x+6的圖象交點(diǎn)是（0，6）和點(diǎn)D（-3，0）（畫(huà)圖可得此結(jié)論）（11分）
所以滿足條件的x的取值范圍是x＜-3或x＞0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道較為常規(guī)的綜合壓軸題，綜合性較強(qiáng)，解第3小題時(shí)可以借助函數(shù)圖象來(lái)很明了快捷地得出結(jié)論．