Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，△AEF的面積為y．
（1）求線段AD的長(zhǎng)；
（2）若EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）
②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，利用其相似比即可求出AD的長(zhǎng)；
（2）①分別根據(jù)x的取值范圍及三角形的面積公式分類可得x、y的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)①中所求的函數(shù)關(guān)系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面積的

1

2

，進(jìn)而得到△AEF得到面積的函數(shù)關(guān)系式，讓它等于3列式即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

3

=

3

5

，AD=

9

5

．

（2）①由于E的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況討論：
如圖A：當(dāng)0＜x≤AD，即0＜x≤

9

5

時(shí)，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽R(shí)t△ACB，即

AE

AC

=

EF

BC

，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴

x

3

=

EF

4

，EF=

4

3

x，
S_△AEF=y=

1

2

AE•EF=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²．
如圖B：當(dāng)AD＜x≤AB，即

9

5

＜x≤5時(shí)，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽R(shí)t△BCA，
∴

EB

BC

=

EF

AC

，
∵AE=x，△AEF的面積為y，

5-x

4

=

EF

3

，
∴EF=

15-3x

4

，
y=

1

2

×AE×EF=

1

2

x•

15-3x

4

=

15x

8

-

3x2

8

．
②當(dāng)如圖A：當(dāng)0＜x≤AD，即0＜x≤

9

5

時(shí)，
S_△AEF=y=

1

2

AE•EF=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²，當(dāng)x=AD，即x=

9

5

時(shí)，y_最大=

2

3

×（

9

5

）²=

54

25

．
如圖B：當(dāng)AD＜x≤BD，即

9

5

＜x≤5時(shí)，
y=

1

2

x×

3

4

（5-x）=

15x

8

-

3x2

8

，y_最大=

75

32

，此時(shí)x=2.5＜5，故成立．
故y_最大=

75

32

．

（3）存在．
假設(shè)存在，當(dāng)0＜x≤5時(shí)，AF=6-x，∴0＜6-x＜3，
∴3＜x＜6，
∴3＜x≤5，
作FG⊥AB于點(diǎn)G，
由△AFG∽△ACD，
∴

AF

AC

=

FG

CD

，
∴

6-x

3

=

FG

12 5

，
即FG=

4

5

（6-x），
∴S_△AEF=

1

2

x•

4

5

（6-x）=-

2

5

x²+

12

5

x，
∴3=-

2

5

x²+

12

5

x，
解得：x₁=

6+ 6

2

，x₂=

6- 6

2

，
∵3＜x≤5，
∴x₁=

6+ 6

2

（符合題意），x₂=

6- 6

2

（不合題意，應(yīng)舍去），
故存在x，直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，此時(shí)x=

6+ 6

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，是典型的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及面較廣，涉及到勾股定理、二次函數(shù)的最值及相似三角形的有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．