Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，交BC的延長線于點(diǎn)F。

（1）求證：AE=BE

（2）求證：FE是⊙O的切線

（3）若BC=6，F(xiàn)E=4，求FC和AG的長。

 

Answer 1

【答案】

（1）連接EC，根據(jù)BC為⊙OD 的直徑可得CE⊥AB，再由AC=BC根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）連接OE，根據(jù)三角形的中位線定理可得OE∥AC，再結(jié)合EG⊥AC即可證得OE⊥EF，從而證得結(jié)論；（3）CF=2，

【解析】

試題分析：（1）連接EC，根據(jù)BC為⊙OD 的直徑可得CE⊥AB，再由AC=BC根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（2）連接OE，根據(jù)三角形的中位線定理可得OE∥AC，再結(jié)合EG⊥AC即可證得OE⊥EF，從而證得結(jié)論；

（3）由BC=2OE=6可得OE=3，再根據(jù)勾股定理可求得OF=5，即得CF=2，由OE∥AC可得△FCG∽△FEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得CG的長，從而求得結(jié)果.

（1）連接EC，

∵BC為⊙OD 的直徑，

∴CE⊥AB

又∵AC=BC，

∴AE=BE；

（2）連接OE，

∵點(diǎn)O、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，

∴OE∥AC，

∵EG⊥AC， 

∴OE⊥EF

∴FE是⊙O的切線；

（3）∵BC=2OE=6，

∴OE=3

∵FE=4，   

∴OF=5   

∴CF=2

∵OE∥AC，

∴△FCG∽△FEO 

∴ 

又∵AC=BC=6，  

∴.

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．