Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD﹣BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE=BE﹣AD．

【解析】（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余關(guān)系可證∠DAC=∠ECB，可證△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此時(shí)，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用線段的和差關(guān)系得DE=AD-BE．

證明：（1）∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）DE=AD﹣BE

證明：∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．

易證得△ACD≌△CBE，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CD- CE =BE﹣AD．

“點(diǎn)睛”本題考查了用旋轉(zhuǎn)法尋找證明三角形全等的條件，關(guān)鍵是利用全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等，將有關(guān)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．