Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0）且與直線相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）如果P（x，y）是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使PO=AO？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定直線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式得到S=×2×y=y，然后利用y=-x+3的函數(shù)關(guān)系用x表示S即可；
（3）先利用勾股定理計(jì)算出BC，再利用面積法求出O點(diǎn)到BC的距離OD=2.5，則點(diǎn)P到O點(diǎn)的最短距離為2.5，所以不存在點(diǎn)P，使PO=AO=2．
解答：解：（1）直線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
把A（2，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
解得，
所以二次函數(shù)的解析式為y=x²-x+3；

（2）S=×2×y
=-x+3（0≤x≤4）；

（3）不存在．理由如下：
作OD⊥BC，如圖，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
∴BC==5，
∴OD===2.5，
∴點(diǎn)P到O點(diǎn)的最短距離為2.5，
∴不存在點(diǎn)P，使PO=AO=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：常用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；會(huì)求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．