Question

如圖，函數(shù)y=x-3的圖象分別交x軸、y軸于點A、B，點C坐標(biāo)為（-1，0）．一條拋物線經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點D是線段AB上的動點，過點D作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段DE長度的最大值．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的最值

專題：計算題

分析：（1）先確定A點和B點坐標(biāo)，由于得到拋物線與x的兩交點坐標(biāo)，可設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把B點坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）設(shè)D點坐標(biāo)（x，x-3），則E（x，x²-2x-3），則DE=x-3-（x²-2x-3），然后整理后配成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）令x=0，則y=x-3=-3，
∴B（0，-3）；
令y=0，則x-3=0，解得x=3，
∴A（3，0），
設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+1）（x-3），
把B（0，-3）代入得-3=a×1×（-3），
解得a=1，
所以函數(shù)的關(guān)系式為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）設(shè)D（x，x-3），則E（x，x²-2x-3），（0≤x≤3），
則DE=x-3-（x²-2x-3）
=-x²+3x
=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
所以x=

3

2

 時，DE的最大值為

9

4

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．