Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角后得到△A′B′C，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在AB邊上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是

 

度，陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：連接CA′，證明三角形AA′C是等邊三角形即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出扇形圓心角以及△CDB′的兩直角邊長，進(jìn)而得出圖形面積即可．

解答：解：∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等邊三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°-60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=

1

2

CB′=

1

2

CB=

1

2

×2=1，
∴B′D=

22-12

=

3

，
∴S_△CDB′=

1

2

×CD×DB′=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S_扇形B′CB=

60×π×22

360

=

2π

3

，
則陰影部分的面積為：

2π

3

-

3

2

，
故答案為：

2π

3

-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了扇形面積應(yīng)用以及三角形面積求法和勾股定理應(yīng)用等知識(shí)，本題的關(guān)鍵是弄清所求的陰影面積等于扇形減去三角形面積