Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于.

(1)求直線的解析式和點(diǎn)坐標(biāo).

(2)求①的面積與的關(guān)系式.并求出當(dāng)的面積為時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo).在軸上確定點(diǎn)，使得的面積等于面積，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若直線將分成面積相等的兩部分，求的值.

③若是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，使得當(dāng)沿著折疊后與重合，請直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B為（0，1），直線l1：y=x+1；直線l2：y=x+8；（2）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，）或（0，）；②k=；③點(diǎn)Q（0，1），點(diǎn)P為（1，1）．

【解析】

（1）l1與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)B（0，m），將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入l1：y=x+m并解得：m=1，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（4，4）、（0，1），即可求解；

（2）①設(shè)點(diǎn)M（0，t），△BMA的面積等于△BEA面積，則點(diǎn)M、E所在的直線與AB平行，即可求解；

②直線y=kx-k+7=k（x-1）+7，當(dāng)x=1時(shí)，y=7，即直線過點(diǎn)（1，7），即過點(diǎn)E，設(shè)直線交AB于點(diǎn)R，直線y=kx-k+7將△BEA分成面積相等的兩部分，則點(diǎn)R是AB的中點(diǎn)，坐標(biāo)為：（2，），即可求解；

③如圖2，AB=5，AF=5，故AB=AF，則當(dāng)△PFA沿著AP折疊后與△QPA重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，即點(diǎn)Q（0，1），即可求解．

解：（1）l1與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)B（0，m），

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入l1：y=x+m并解得：m=1，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（4，4）、（0，1），

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入l2表達(dá)式并解得：k=1，

∴直線l1：y=x+1；直線l2：y=x+8；

（2）設(shè)點(diǎn)F（a，0），則點(diǎn)D（a，a+1）、點(diǎn)E（a，-a+8），

△BEA的面積=×DE×xA=×（-a+8-a-1）×4=，

解得：a=1，

故點(diǎn)F、D、E的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（1，）、（1，7）；

①設(shè)點(diǎn)M（0，t），△BMA的面積等于△BEA面積，則點(diǎn)M、E所在的直線與AB平行，

當(dāng)M在AB上方時(shí)，

由E、M的坐標(biāo)的直線EM的表達(dá)式為：y=x+t，

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入上式并解得：t=，

故點(diǎn)M（0，）；

當(dāng)M（M′）在AB下方時(shí)，

則點(diǎn)M′、M關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，則點(diǎn)M′（0，），
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，）或（0，）；

②直線y=kx-k+7=k（x-1）+7，當(dāng)x=1時(shí)，y=7，即直線過點(diǎn)（1，7），即過點(diǎn)E，

設(shè)直線交AB于點(diǎn)R，直線y=kx-k+7將△BEA分成面積相等的兩部分，

則點(diǎn)R是AB的中點(diǎn)，坐標(biāo)為：（2，）；

將點(diǎn)R的坐標(biāo)代入y=kx-k+7，

∴，

解得：k=；

③如圖2，AB=5，AF=5，故AB=AF，

則當(dāng)△PFA沿著AP折疊后與△QPA重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，即點(diǎn)Q（0，1）

而OF=1，而PQ=PF，故PF=1，

故點(diǎn)P為（1，1）．