Question

7．如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN、EF，M、N、E、F分別在邊AB、CD、AD、BC上．
①若MN=EF，則MN⊥EF；
②若MN⊥EF，則MN=EF．
你認為正確的是②．（填序號）

Answer 1

分析 過F作FP⊥AD，過N作NQ⊥AB，交于點H，分兩種情況證明△MNQ≌Rt△EFP后，利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷．

解答 解：過F作FP⊥AD，過N作NQ⊥AB，交于點H
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=∠B=∠C=90°，
∴四邊形AQND和四邊形PFCD都為矩形，
∴QN=PF=CD=AD，
①若MN=EF，
在Rt△MNQ和Rt△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=EF}\\{QN=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△MNQ≌Rt△EFP（HL），
∴∠QNM=∠PFE，
∵∠FHN=90°，
∴MN⊥EF，
若EF如右圖所示時，此時EF與MN不垂直
故①不正確；
②若MN⊥EF，∠FHN=90°
∴∠QNM=∠PFE，
在Rt△MNQ和Rt△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNQ=∠EFP}\\{∠MQN=∠EPF}\\{QN=PF}\end{array}\right.$
∴Rt△MNQ≌Rt△EFP（AAS），
∴MN=EF
故②正確，
故答案為：②

點評 本題考查正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，分類討論的思想，屬于中等題型．