【答案】
分析:(1)直徑是OA,圓心為B,故B(0,1),根據(jù)tan∠1=tan∠2=
,分別解直角△OKC,△AKC可得C點坐標(biāo)為(
,
),又A(0,2),可求出直線BC解析式;
(2)本題答案不唯一,可選定點D的坐標(biāo),推出點P的坐標(biāo),最好選擇關(guān)于y軸的對稱點,使拋物線解析式簡單一些;
(3)由于BC=BA,PD∥y軸,則PC=PD,將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,PM+PB=PM+PC+CB=PM+PD+CB,故只有當(dāng)直線DP經(jīng)過點M(-3,3)時,PM+PD的值最小,由切割線定理求CD,由平行的相似三角形,利用相似比求PD,確定P點坐標(biāo).
解答:解:(1)如圖所示,當(dāng)點D在x軸的正半軸上時,連接OC,過C點作CK⊥y軸于點K.
∵OA為圓B的直徑,點C在圓B上
∴∠ACO=90°
∴∠1=∠2
∵tan∠1=
∴tan∠2=
設(shè)OK的長為x,則KC=2x,可得AK=4x
∵點A的坐標(biāo)為(0,2),OK+KA=OA
∴點B的坐標(biāo)為(0,1),5x=2
∴x=
∴KC=
∴點C的坐標(biāo)為(
,
)
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+1(k≠1),
得:
=
k+1
∴k=-
∴直線BC的解析式為y=-
x+1
當(dāng)點D在x軸的負(fù)半軸上時,同理可得直線BC的解析式為y=
x+1
∴滿足題意的直線BC的解析式為y=-
x+1或y=
x+1.
(2)∵DP∥y軸
∴DP⊥x軸
當(dāng)點D位于如圖的位置時,有D(1,0)
可得P點的縱坐標(biāo)為y=-
×1+1=
∴點P的坐標(biāo)為(1,
)
如圖所示,當(dāng)點D的坐標(biāo)為(2,0)時,△AOD為等腰三角形
連接OC
∵OA為圓B的直徑
∴OC⊥AD
∴C為AD中點
∴BC∥OD
又∵DP
1∥y軸
∴點P
1的坐標(biāo)為(2,1)
如圖所示,類似地,可得點P
2的坐標(biāo)為(-2,1)
設(shè)圖象經(jīng)過P、P
1、P
2、三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax
2+bx+c(a≠0),得:
①
=a+b+c;②1=4a+2b+c;③1=4a-2b+c
解得a=
,b=0,c=0
∴圖象經(jīng)過這三點的二次函數(shù)的解析式為y=
x
2.
(3)如圖所示
∵AB∥PD,
∴PD⊥x軸,
∵AB=BC
∴DP=PC
∴PM+PB=PM+PC+BC
=PM+PD+BC
由幾何知識可知,當(dāng)直線DP經(jīng)過點M(-3,3)時,PM+PD的值最小
又∵BC是圓B的半徑
∴當(dāng)直線BP過點M時,PM+PB的值最小
∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
∵OD=3,OA=2
由勾股定理有AD=
又可證DO是圓B的切線
∴OD
2=DC•AD
∴CD=
,
則AC=AD-CD=
由△PDC∽△BAC,得:
=
即DP=
∴點P的坐標(biāo)為(-3,
).
點評:本題綜合性強,考查了直線與圓,拋物線與圓的相關(guān)知識,用形數(shù)結(jié)合的觀點,只有當(dāng)D,P,M三點共線時PM+PD的值最小,結(jié)合切割線定理,相似比求出P點坐標(biāo).