Question

【題目】如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交對角線AC于點(diǎn)F，BM交對角線AC于點(diǎn)G、交CD于點(diǎn)M．

（1）如圖1，聯(lián)結(jié)BD，求證：，并寫出的值；

（2）聯(lián)結(jié)EG，如圖2，若設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）當(dāng)M為邊DC的三等分點(diǎn)時(shí)，求的面積．

Answer 1

【答案】；；或

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；
（2）作EH⊥AC于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得到y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）分CM＝CD和CM＝CD兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°，
∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°，
∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°，
∴△DEB∽△CGB，
∴DE：CG＝BD：BC＝；
（2）如圖2，作EH⊥AC于H，

則AH＝EH＝x，
∵△DEB∽△CGB，
∴，
∴CG＝（6x），
∴HG＝ACAHCG＝3，
∵EG2＝EH2＋HG2，
∴；
（3）當(dāng)CM＝CD＝2時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴，
∴CG＝，
∴DE＝3，則AE＝3，
∴AH＝EH＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴AF＝2，
∴GF＝ACAFCG＝，
∴S△EGF＝×FG×EH＝，
當(dāng)CM＝CD＝4時(shí)，
，
∴CG＝，
∴DE＝，則AE＝，
AH＝EH＝，
∵，
∴AF＝，
∴GF＝ACAFCG＝，
∴S△EGF＝×FG×EH＝．

綜上,S△EGF=或