Question

已知：A 、B 、C 不在同一直線上.
（1）若點(diǎn)A 、B 、C 均在半徑為R 的⊙O上，
（I）如圖一，當(dāng)∠A=45 °時(shí)，R=1 ，求∠BOC 的度數(shù)和BC 的長(zhǎng)度； 
（Ⅱ）如圖二，當(dāng)∠A 為銳角時(shí)，求證sin ∠A=；
（2）.若定長(zhǎng)線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與點(diǎn)A不重合）滑動(dòng)，如圖三，當(dāng)∠MAN=60°，BC=2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為點(diǎn)P ，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，P、A兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1） ①∠BOC=90 °（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半）；
由勾股定理可知BC==       （提示：也可延長(zhǎng)BO或過(guò)點(diǎn)O作BC邊的垂線段）      
②證明：可連接BO并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)E，連接EC.        
可知EC⊥BC（直徑所對(duì)的圓周角為90°）        
且∠E=∠BAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）        
故sin∠A=.
（2）保持不變.可知△CQP ∽△BQA ，且∠AQP= ∠BQC，
所以△BCQ∽△APQ;      
即
AP==（為定值）.
故保持不變。