Question

將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M，連接BF與EG交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)（如圖1）：
①△AEF的邊AE=

 

cm，EF=

 

cm，線段EG與BF的大小關(guān)系是EG

 

BF；
（填“＞”、“=”或“＜”）
②求△FDM的周長(zhǎng)． 
（2）當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任意位置時(shí)（如圖2）：
③試問(wèn)第（1）題中線段EG與BF的大小關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
④當(dāng)點(diǎn)F在何位置時(shí)，四邊形AEGD的面積S最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)直角三角形勾股定理即可得出結(jié)論，②利用三角形相似對(duì)邊比例關(guān)系計(jì)算出三角形各邊長(zhǎng)即可計(jì)算出結(jié)果，
（2）①根據(jù)題意，利用三角形全等即可證明結(jié)論，②根據(jù)勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）①AE=3cm，EF=5cm；EG=BF，
設(shè)AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，
②解：如圖1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴

EF

FM

=

AE

DF

=

AF

DM

，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，
∴

5

FM

=

3

4

，FM=

20

3

，

3

4

=

4

DM

，DM=

16

3

，
∴△FMD的周長(zhǎng)=4+

20

3

+

16

3

=16；

（2）①EG=BF不會(huì)發(fā)生變化，
理由：證明：如圖2，∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱(chēng)，
∴BF⊥EG于P，過(guò)G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG（AAS），
∴EG=BF，
②如圖2，設(shè)AF=x，EF=8-AE，x²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4-

1

16

x2，
∵△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-

1

16

x2+x，（10分）
S=

AE+DG

2

×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4-

1

16

x2+4-

1

16

x2+x）=-

1

2

x2+4x+32，
S=-

1

2

(x-4)2+40，（0＜x＜8）
當(dāng)x=4，即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，S_最大=40．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，需要注意的是：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，難度較大．