Question

（2013•梅州）如圖，已知拋物線y=2x²-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）寫出以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積；
（2）過點(diǎn)E（0，6）且與x軸平行的直線l₁與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），以MN為一邊，拋物線上的任一點(diǎn)P為另一頂點(diǎn)做平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的面積為8時(shí)，求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l₂上有一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）在二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=2x²-2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0時(shí)，求出y=-2，得到OC=2，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）先將y=6代入y=2x²-2，求出x=±2，得到點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)，則MN=4，再由平行四邊形的面積公式得到MN邊上的高為2，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為8或4．分兩種情況討論：①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為8時(shí)，將y=8代入y=2x²-2，求出x的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4時(shí)，將y=4代入y=2x²-2，求出x的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況討論：①OB與BD邊是對應(yīng)邊，②OB與QD邊是對應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出QD的長度即可．

解答：解：（1）∵y=2x²-2，
∴當(dāng)y=0時(shí)，2x²-2=0，x=±1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），AB=2，
又當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），OC=2，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2×2=2；

（2）將y=6代入y=2x²-2，
得2x²-2=6，x=±2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，6），MN=4．
∵平行四邊形的面積為8，
∴MN邊上的高為：8÷4=2，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6±2．
①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6+2=8時(shí)，2x²-2=8，x=±

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

，8）或（-

5

，8）；
②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6-2=4時(shí)，2x²-2=4，x=±

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，4）或（-

3

，4）；

（3）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），
∴OB=1，OC=2．
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形和以B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：
①OB與BD邊是對應(yīng)邊時(shí)，△OBC∽△DBQ，
則

OB

DB

=

OC

DQ

，即

1

m-1

=

2

DQ

，
解得DQ=2（m-1）=2m-2，
②OB與QD邊是對應(yīng)邊時(shí)，△OBC∽△DQB，
則

OB

DQ

=

OC

DB

，即

1

DQ

=

2

m-1

，
解得DQ=

m-1

2

．
綜上所述，線段QD的長為2m-2或

m-1

2

．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形、平行四邊形的面積，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，注意要分情況討論求解．