【題目】如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,點D在BC上,且CD=3cm,現(xiàn)有兩個動點P,Q分別從點A和點B同時出發(fā),其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C運動;點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C運動,兩點到達(dá)終點后停止運動。過點P作PE∥BC交AD于點E,連結(jié)EQ,設(shè)動點運動的時間為ts(t>0)。
(1) 連結(jié)DP,經(jīng)過1s后,四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎? 請說明理由;
(2) 當(dāng)t為何值時,△EDQ為直角三角形?
(3) 如圖②,設(shè)點M是EQ的中點,在點P、Q的整個運動過程中,試探究點M的運動路徑長度是多少?
【答案】(1)能.四邊形EQDP是平行四邊形. (2)當(dāng)t為2.5或3.1時,△EDQ為直角三角形(3)點M的運動路徑長度是cm
【解析】試題分析:(1)如圖1,當(dāng)t=1時,AP=1,BQ=1.25,QD=0.75.由PE∥DC,得到EP=0.75,從而有EP=QD,再由EP∥QD,即可得到結(jié)論;
(2)分∠EQP=90°,∠QED=90°兩種情況,通過三角形相似,列出比例關(guān)系,求出t的值即可;
(3)作AB的中點M,DC的中點M′,連接MM′,則M運動的路徑就是線段MM′.過M作MG⊥BC于G.可以證明MG是△ABC的中位線,得到MG=2,BG=GC=2.5.再由M′是DC的中點,得到M′C=1.5,進(jìn)而得到GM′=2.5-1.5=1,在Rt△MGM′中,由勾股定理即可得出MM′的長.
試題解析:解:(1)能.理由如下:
如圖1,當(dāng)t=1時,AP=1,BQ=1.25,QD=2-1.25=0.75.∵PE∥DC,∴ ,∴,∴EP=0.75,∴EP=QD.∵EP∥QD,∴四邊形EQDP是平行四邊形.
(2)分兩種情況討論:
①如圖3,當(dāng)∠EQD=90°時,顯然有EQ=PC=4﹣t.又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC,
∴.∵BC=5厘米,CD=3厘米,∴BD=2厘米,∴DQ=1.25t﹣2,∴ ,解得t=2.5(秒);
②如圖4,當(dāng)∠QED=90°時,作EM⊥BC于M,CN⊥AD于N,則四邊形EMCP是矩形,EM=PC=4﹣t.在Rt△ACD中,∵AC=4厘米,CD=3厘米,∴AD==5,∴CN==.∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°,∴△EDQ∽△CDA,∴,∴,解得t=3.1(秒).
綜上所述:當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時,△EDQ為直角三角形.
(3)作AB的中點M,DC的中點M′,連接MM′,則M運動的路徑就是線段MM′.過M作MG⊥BC于G.∵M是AB的中點,∴G是BC的中點,∴MG是△ABC的中位線,∴MG=AC=2,BG=GC=2.5.∵M′是DC的中點,∴M′C=DC=1.5,∴GM′=2.5-1.5=1,∴MM′===(cm).
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【題目】以∠AOB的頂點O為端點引射線OP,使∠AOP:∠BOP=3:2,若∠AOB=20°,則∠AOP的度數(shù)為_________.
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【題目】如圖,已知點A(2,2)是雙曲線上一點,點B是雙曲線上位于點A右下方的另一點,C是x軸上的點,且△ABC是以∠B為直角的等腰直角三角形,則點B的坐標(biāo)是__________。
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【題目】如圖在平行四邊形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F(xiàn)為AD的中點,若∠AEF=54,則∠B=( )
A. 54 B. 60 C. 72 D. 66
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【題目】如圖,△AOB的三個頂點都在網(wǎng)格的格點上,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為一個長度單位,以點O建立平面直角坐標(biāo)系,若△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后,得到△A1OB1(A和A1是對應(yīng)點)
(1)寫出點A1,B1的坐標(biāo) ;
(2)求旋轉(zhuǎn)過程中邊OB掃過的面積(結(jié)果保留π);
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【題目】一名足球守門員練習(xí)折返跑,從球門線出發(fā),向前記作正數(shù),返回記作負(fù)數(shù),他的記錄如下:(單位:米)+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10
(1)守門員最后是否回到了球門線的位置?
(2)在練習(xí)過程中,守門員離開球門最遠(yuǎn)距離是多少米?
(3)守門員全部練習(xí)結(jié)束后,他共跑了多少米?
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【題目】我國數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中,看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題,求的立方根.華羅庚脫口而出,你知道怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出結(jié)果的嗎?請按照下面的問題試一試:
(1)由,確定的立方根是 位數(shù);
(2)由的個位數(shù)是確定的立方根的個位數(shù)是 ;
(3)如果劃去后面的三位得到數(shù),而,由此能確定的立方根的十位數(shù)是 ;所以的立方根是 ;
(4)用類似的方法,請說出的立方根是 .
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【題目】如圖,直線y=kx-6經(jīng)過點A(4,0),直線y=-3x+3與x軸交于點B,且兩直線交于點C.
(1)求k的值;
(2)求△ABC的面積.
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