精英家教網(wǎng)如圖,已知線段AB∥CD,AD與BC相交于點K,E是線段AD上一動點.
(1)若BK=
5
2
KC,求
CD
AB
的值;
(2)連接BE,若BE平分∠ABC,則當(dāng)AE=
1
2
AD時,猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明.再探究:當(dāng)AE=
1
n
AD(n>2),而其余條件不變時,線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論,不必證明.
分析:(1)由已知得
CK
BK
=
2
5
,由CD∥AB可證△KCD∽△KBA,利用
CD
AB
=
CK
BK
求值;
(2)AB=BC+CD.作△ABD的中位線,由中位線定理得EF∥AB∥CD,可知G為BC的中點,由平行線及角平分線性質(zhì),得∠GEB=∠EBA=∠GBE,則EG=BG=
1
2
BC,而GF=
1
2
CD,EF=
1
2
AB,利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系;
當(dāng)AE=
1
n
AD(n>2)時,EG=BG=
1
n
BC,而GF=
1
n
CD,EF=
n-1
n
AB,EF=EG+GF可得BC+CD=(n-1)AB.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵BK=
5
2
KC,
CK
BK
=
2
5
,
又∵CD∥AB,
∴△KCD∽△KBA,
CD
AB
=
CK
BK
=
2
5


(2)當(dāng)BE平分∠ABC,AE=
1
2
AD時,AB=BC+CD;
證明:取BD的中點為F,連接EF交BC于G點,
由中位線定理,得EF∥AB∥CD,
∴G為BC的中點,∠GEB=∠EBA,
又∵∠EBA=∠GBE,
∴∠GEB=∠GBE,
∴EG=BG=
1
2
BC,而GF=
1
2
CD,EF=
1
2
AB,
∵EF=EG+GF,
即:
1
2
AB=
1
2
BC+
1
2
CD;
∴AB=BC+CD;
同理,當(dāng)AE=
1
n
AD(n>2)時,EF∥AB,
同理可得:
BG
BC
=
AE
AD
=
1
n
,則BG=
1
n
•BC,則EG=BG=
1
n
•BC,
GF
CD
=
BG
BC
=
1
n
,則GF=
1
n
•CD,
EF
AB
=
ED
AD
=
n-1
n
,
1
n
•BC
+
1
n
•CD=
n-1
n
•AB,
∴BC+CD=(n-1)AB,
故當(dāng)AE=
1
n
AD(n>2)時,BC+CD=(n-1)AB.
點評:本題考查了平行線的性質(zhì),三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì).關(guān)鍵是構(gòu)造平行線,由特殊到一般探索規(guī)律.
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已知,如圖:已知線段AB,點C在AB的延長線上,AC=
5
3
BC,D在AB的反向延長線上,BD=
3
5
DC.精英家教網(wǎng)
(1)在圖上畫出點C和點D的位置;
(2)設(shè)線段AB長為x,則BC=
 
;AD=
 
;(用含x的代數(shù)式表示)
(3)若AB=12cm,求線段CD的長.

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A、6cmB、5cmC、4cmD、3cm

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12
AB
的相同長度為半徑畫弧,設(shè)兩段弧在AB上方的交點為M,連接AM,延長AM到C,使得AM=MC,連接BC(只要保留作圖痕跡).根據(jù)所作圖形,求證:∠ABC=90°.
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1
2
AB,若D是BC的中點,CD=2cm,則AC的長等于( 。
A、4cmB、8cm
C、10cmD、12cm

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