Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2x+y﹣3，x﹣2y），它關于x軸的對稱點A1的坐標為（x+3，y﹣4），關于y軸的對稱點為A2．

（1）求A1、A2的坐標；

（2）證明：O為線段A1A2的中點．

Answer 1

【答案】（1）A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)“關于x軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù)”列方程組求出x、y的值,從而得到點A的坐標,再根據(jù)“關于x軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù)”寫出點A1的坐標,根據(jù)“關于y軸對稱的點,縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù)”寫出點A2的坐標;(2)設經(jīng)過的直線解析式為y=kx,利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式,再求出點A2在直線上,然后利用勾股定理列式求出=,最后根據(jù)線段中點的定義證明即可.

（1）∵點A（2x+y﹣3，x﹣2y）與A1（x+3，y﹣4）關于x軸對稱，

∴，

解得，

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；

（2）證明：設經(jīng)過OA1的直線解析式為y=kx，

易得：=﹣x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直線OA1上，

∴A1、O、A2在同一直線上，

由勾股定理知OA1=OA2==，

∴O為線段A1A2的中點．