Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△PBQ的面積；
（2）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，試說(shuō)明△DPQ是直角三角形；
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)3s時(shí)，P點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)以原速立即向B點(diǎn)返回，在返回的過(guò)程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）易得PB和BQ的長(zhǎng)度，那么△PBQ的面積=

1

2

×PB×BQ把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；
（2）利用勾股定理可得DP，PQ，DQ的長(zhǎng)度，證明DQ²+PQ²=DP²即可；
（3）易得AP=3，Q在BC上．設(shè)出BQ的長(zhǎng)度為x，則利用相似可得OB與OA，根據(jù)12：DO=AP：PO，可得x的值，求得相應(yīng)時(shí)間加上原來(lái)的3秒即為所求時(shí)間．

解答：解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=t=2，BQ=2t=4，
∴BP=AB-AP=4，
∴△PBQ的面積=

1

2

×4×4=8；

（2）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，
∴DP²=AD²+AP²=2.25+144=146.25，PQ²=PB²+BQ²=29.25，DQ²=CD²+CQ²=117，
∵PQ²+DQ²=DP²，
∴∠DQP=90°，
∴△DPQ是直角三角形．

（3）設(shè)存在點(diǎn)Q在BC上，延長(zhǎng)DQ與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O．
設(shè)QB的長(zhǎng)度為x，則QC的長(zhǎng)度為（12-x），
∵DC∥BO，
∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，
∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x，
∴

CQ

BQ

=

CD

BO

，即

12-x

x

=

6

BO

，
解得：BO=

6x

12-x

，
∴AO=AB+BO=6+

6x

12-x

=

72

12-x

，
∴DO=

(  72 12-x ) 2+ 36

，PO=

36+3x

12-x

，
∵∠ADP=∠ODP，
∴12：DO=AP：PO，
代入解得x=0.75，
∴DP能平分∠ADQ，
∵點(diǎn)Q的速度為2cm/s，
∴P停止后Q往B走的路程為（6-0.75）=5.25cm．
∴時(shí)間為2.625s，加上剛開始的3s，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.625s．

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：直角三角形的面積等于兩直角邊積的一半；若三角形的三邊a，b，c符合a²+b²=c²，
那么∠C=90°；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；三角形的角平分線分對(duì)邊的比等于另兩邊之比．