Question

設(shè)x，y是大于零的實(shí)數(shù)，且

sinθ

x

=

cosθ

y

，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

14

x2+y2

，則

x

y

+

y

x

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系,比例的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)比例的性質(zhì)由

sinθ

x

=

cosθ

y

得

sinθ

cosθ

=

x

y

，由三角函數(shù)的關(guān)系有

sinθ

cosθ

=tanθ，則tanθ=

x

y

，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得到
sinθ=

x

x2+y2

，cosθ=

y

x2+y2

，則

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

14

x2+y2

可化為

y2

x2+y2

•

1

x2

+

x2

x2+y2

•

1

y 2

=

14

x2+y2

，化簡(jiǎn)后得

y2

x2

+

x2

y2

=14，配方后得到（

y

x

+

x

y

）²=16，然后兩邊開(kāi)方取算術(shù)平方根即可．

解答：解：∵

sinθ

x

=

cosθ

y

，
∴

sinθ

cosθ

=

x

y

，而

sinθ

cosθ

=tanθ，
∴tanθ=

x

y

，
如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，
∴AB=

x2+y2

，
∴sinθ=

x

x2+y2

，cosθ=

y

x2+y2

，
而

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

14

x2+y2

，
∴

y2

x2+y2

•

1

x2

+

x2

x2+y2

•

1

y 2

=

14

x2+y2

，
∴

y2

x2

+

x2

y2

=14，
∴（

y

x

+

x

y

）²-2=14，
∴（

y

x

+

x

y

）²=16，
而x，y是大于零的實(shí)數(shù)，
∴

y

x

+

x

y

=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，一銳角的正弦等于它的對(duì)邊與斜邊的比值；一銳角的余弦等于它的鄰邊與斜邊的比值；一銳角的正切等于它的對(duì)邊與它的鄰邊的比值．也考查了勾股定理、完全平方公式以及比例的性質(zhì)．