Question

如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒１個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．

  （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為　  ；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為     ；(3分)

（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時(shí)，S有最大值？(4分)

（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3分)

 

Answer 1

解：（1）解法一：                                    解法二：

   ∵AB為⊙O的直徑，                            ∵AB為⊙O的直徑，∠B＝30°，

   ∴∠ACB＝90°．……1分                          ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝

   ∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，               ∵弦CD⊥直徑AB于點(diǎn)M，

   ∴BC＝AB•cos30°＝2×.                  ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC

   ∵弦CD⊥直徑AB，∠B＝30°，                     ∴CD＝2CM＝2×

   ∴ CM＝BC=.                                   ＝2×＝

   CD＝2CM＝． （其它解法請(qǐng)酌情給分）

（2）證明：∵AE切⊙O于點(diǎn)A，AB為⊙O的直徑，

    ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°，

    ∴∠ACE＝∠BAE＝90°．

    又∵∠E＝∠E，

    ∴Rt△ECA∽R(shí)t△EAB．

    ∴．

    ∴AE²＝EB•EC． 26．解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對(duì)B點(diǎn)得1分）

（2）∵S_△OMP =×OM×，

∴S =×（6 -t）×=+2t．

   ＝（0 < t <6）．

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值．

     （3）存在．

    由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：．

   設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：，

 

解方程組得

∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為．

∵S_△OCN ＝×4×3＝6，∴S_△ORT ＝ S_△OCN ＝2．

① 當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí)，分割出的三角形是△OR₁T₁，如圖，作R₁D₁⊥y軸，D₁為垂足，則S_△OR1T1＝••••RD₁•OT ＝••b＝2.

∴，      b =.

∴b₁ ＝，b₂ ＝（不合題意，舍去）

此時(shí)點(diǎn)T₁的坐標(biāo)為（0，）.

② 當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分割出的三角形是△R₂NE，如圖，設(shè)MT交CN于點(diǎn)E，由①得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，作R₂D₂⊥CN交CN于點(diǎn)D₂，則

S_△R2NE＝•EN•R₂D₂ =••＝2.

∴，b=.

∴b₁＝，b₂＝（不合題意，舍去）．

∴此時(shí)點(diǎn)T₂的坐標(biāo)為（0，）．

綜上所述，在y軸上存在點(diǎn)T₁（0，），T₂（0，）符合條件．