Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上﹣點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．

（1）求證：AF=CG；

（2）寫出圖中長度等于2DE的所有線段．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）長度等于2DE的線段有CF、BG、DG．

【解析】

（1）要證AF=CG，只需證明△AFC≌△CBG即可．
（2）延長CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE．

證明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，

∴∠ACG=∠BCG=45°，

又∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAF=∠CBF=45°，

∴∠CAF=∠BCG，

在△AFC與△CGB中，

，

∴△AFC≌△CBG（ASA），

∴AF=CG；

（2）延長CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，

∴CH⊥AB，CH平分AB，

∵AD⊥AB，

∴AD∥CG，

∴∠D=∠EGC，

在△ADE與△CGE中，

，

∴△ADE≌△CGE（AAS），

∴DE=GE，

即DG=2DE，

∵AD∥CG，CH平分AB，

∴DG=BG，

∵△AFC≌△CBG，

∴CF=BG，

∴CF=2DE．

∵BG=CF，

∴BG=2DE，

∴DG=2DE，

故長度等于2DE的線段有CF、BG、DG．