Question

【題目】如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）．設(shè)AE=BF=CG=DH=xcm，四邊形EFGH的面積為ycm2 ，

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍；
（2）求四邊形EFGH的面積為3cm2時的x值；
（3）四邊形EFGH的面積可以為1.5cm2嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在正方形紙上剪去4個全等的直角三角形，

∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，

∵∠EHG=180°﹣∠AHE﹣∠DHG，

∴∠EHG=90°，四邊形EFGH為正方形，

在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB﹣AE=2﹣x，∠A=90°，

∴HE2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4，

正方形EFGH的面積y=HE2=2x2﹣4x+4，

∵AE，AH均為正值，

∴0＜x＜2，

故y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y=2x2﹣4x+4，自變量x的取值范圍0＜x＜2．

（2）解：將y=3代入y=2x2﹣4x+4中，整理得：2x2﹣4x+1=0，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ，

故四邊形EFGH的面積為3cm2時的x的值為1+ 或1﹣ ．

（3）解：四邊形EFGH的面積為：y=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2，（0＜x＜2），

∵（x﹣1）2≥0，

∴y≥2，

四邊形EFGH的面積不能為1.5cm2．

【解析】（1）先證出四邊形EFGH為正方形，用未知數(shù)x表示其任一邊長，根據(jù)正方形面積公式即可解決問題；（2）代入y值，解一元二次方程即可；（3）將面積y=2x2﹣4x+4改寫成完全平方的形式，可得知y≥2，故不能為cm2 ．