Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

1.求拋物線的解析式

2.若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)

3.P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

 

1.y=x²+2x

2.D₁（1，3），D₂（﹣3，3），（﹣1，﹣1）； 

3.存在，（，）或（3，15）

解析:

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），且過A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），可得

 ,解得.

∴拋物線的解析式為y=x²+2x；

（2）①當(dāng)AE為邊時(shí)，

∵A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴DE=AO=2，則D在x軸方不可能，

∴D在x軸上方且DE=2，

∴D₁（1，3），D₂（﹣3，3）；

②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分，

因?yàn)辄c(diǎn)E在對(duì)稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，

由對(duì)稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即C（﹣1，﹣1）

故符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，分別是D₁（1，3），D₂（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；

（3）存在，

∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，

∴BO²+CO²=BC²．∴△BOC是直角三角形．

假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，

設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，

①若△AMP∽△BOC，則，即 x+2=3（x²+2x）

得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．

當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，則，即：x²+2x=3（x+2）

得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）

當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）．

故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）．