Question

【題目】已知：如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)的直線軸，交直線于點(diǎn)，如果．

（1）求直線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)在直線上，且是等腰三角形，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可得OM的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OA的長，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先根據(jù)對稱性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得的長，然后根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況建立等式求解即可．

（1）對于

當(dāng)時，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)

∵

在中，，

則有

解得，即

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵直線經(jīng)過點(diǎn)

∴，解得

故直線的表達(dá)式為；

（2）點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)

點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線上的點(diǎn)坐標(biāo)為

則

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

①當(dāng)時，是等腰三角形

則，解得或

或

此時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或

②當(dāng)時，是等腰三角形

則，解得或

或

此時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或（與點(diǎn)重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）

③當(dāng)時，是等腰三角形

則，解得

此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)或．