Question

【題目】據圖解答

（1）如圖1，在菱形ABCD中，CE=CF，求證：AE=AF．
（2）如圖2，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，OP與⊙O相交于點C，連接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D

∵CE=CF，

∴BE=DF

在△ABE與△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF．

∴AE=AF；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點A，

∴∠PAO=90°．

又∵∠OPA=40°，

∴∠POA=50°，

∴∠ABC= ∠POA=25°

【解析】（1）根據菱形的性質，利用SAS判定△ABE≌△ADF，從而求得AE=AF；（2）利用切線的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質得到圓心角∠PAO的度數，然后利用圓周角定理來求∠ABC的度數．本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．同時考查了切線的性質，圓周角定理．圓的切線垂直于經過切點的半徑．
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質和切線的性質定理，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．