Question

【題目】如圖1，已知點A（﹣2，0），點B（0，﹣4），AD與y軸交于點E，且E為AD的中點，雙曲線y= 經(jīng)過C，D兩點且D（a，8）、C（4，b）．

（1）求a、b、k的值；

（2）如圖2，點P在雙曲線y= 上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，試直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1) a=2，k=16，b=4；(2) Q1（6，0）或Q1（-6，0）Q1（2，0）.

【解析】分析：

（1）如下圖，過點D作DP⊥y軸于點P，結(jié)合已知條件可證得△PDE≌△OAE，由此可得PD==a=OA=2，這樣即可得到點D的坐標，將點D的坐標代入中即可求得k的值，再結(jié)合點C（4，b）在該反比例函數(shù)的圖象上即可求得b的值；

（2）如下圖，分AB為所求平行四邊形的邊和對角線兩種情況結(jié)合已知條件分析討論即可.

（1）如圖1，過點D作DP⊥y軸于點P，

∵點E為AD的中點，

∴AE=DE．

又∵DP⊥y軸，∠AOE=90°，

∴∠DPE=∠AEO．

∵在△PDE與△OAE中， ，

∴△PDE≌△OAE（ASA），

∴PD=OA，

∵A（﹣2，0），

∴a=2，

∴D（2，8）．

∵點D在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=xy=2×8=16．

∵點C在反比例函數(shù)圖象上，C的坐標為（4，b），

∴b==4，

∴a=2，k=16，b=4；

（2）∵點P在雙曲線上，點Q在x軸上，

∴可設(shè)點P的坐標為，點Q的坐標為（m，0），

如下圖，①當AB為所求平行四邊形ABP1Q1的邊時，由點B的坐標為（0，-4）可得點P此時的坐標（-4，-4），∴PB=AQ1=4，

∴OQ1=OA+AQ1=6，

∴此時點Q1的坐標為（-6，0）；

②當AB為所求平行四邊形ABQ2P2的邊時，由平行四邊形的性質(zhì)可知點P到x軸的距離=點B到x軸的距離=4，

∴點P此時的坐標為（4，4）；

又∵點P可以可知是由點A平移得到的，而點Q2可以看著是由點B平移得到的，

∴由平移的性質(zhì)可得點Q2的坐標為（6，0）；

③當AB為所求平行四邊形AP1BQ3的對角線時，由AQ3=PB結(jié)合①中所得PB=4可得AQ3=4，

∵AO=2，

∴OQ3=4-2=2，

∴Q3的坐標為（2，0）；

綜上所述，滿足條件的點Q有3個，坐標分別為：Q1（-6，0）或Q2（6，0）或Q3（2，0）.