Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；連結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM．

（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖①，

求證：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如果將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖②，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角時(shí)，（1）中的結(jié)論成立

【解析】分析：(1)、根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出BM=DM，然后根據(jù)四點(diǎn)共圓可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，從而得出答案；(2)、連結(jié)BD，延長DM至點(diǎn)F，使得DM=MF，連結(jié)BF、FC，延長ED交AC于點(diǎn)H，根據(jù)題意得出四邊形CDEF為平行四邊形，然后根據(jù)題意得出△ABD和△CBF全等，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出∠DBF=∠ABC =90°．

詳解：（1）在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點(diǎn)，∴．

在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點(diǎn)，∴．

∴BM=DM，且點(diǎn)B、C、D、E在以點(diǎn)M為圓心、BM為半徑的圓上．

∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．

（2）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角時(shí)，（1）中的結(jié)論成立．

證明：連結(jié)BD，延長DM至點(diǎn)F，使得DM=MF，連結(jié)BF、FC，延長ED交AC于點(diǎn)H．

∵ DM=MF，EM=MC， ∴ 四邊形CDEF為平行四邊形，∴ DE∥CF ，ED =CF，

∵ ED= AD，∴ AD=CF， ∵ DE∥CF，∴ ∠AHE=∠ACF．

∵,，

∴ ∠BAD=∠BCF， 又∵AB= BC， ∴ △ABD≌△CBF，∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF，

∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC =90°．

在Rt△中，由, ，得BM=DM且BM⊥DM．