Question

【題目】如圖，RT△ABC中，，. 動點同時分別從點出發(fā)，分別沿著射線和射線的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接，以為直徑作交射線于點，連接，設(shè)運動的時間為.

（1）當(dāng)點在線段上時，用關(guān)于的代數(shù)式表示________，________. （直接寫出結(jié)果）

（2）在整個運動過程中，當(dāng)為何值時，以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）當(dāng)點E在線段AC上時，由題意可知AE=t,則CE=AC-AE=8-t,；利用圓周角定理可證得∠EMF=90°，可證△CEM∽△CBA,利用對應(yīng)邊成比例可表示出CM；

（2）分三種情況討論，即0<t≤8, 8<t≤10,t≥10.每種情況均用△CEM∽△CBA表示EM和CM長，從而表示FM長，再由△FEM∽△BCA或△EFM∽△BCA，得出 或，即可求出t值.

解：（1），；

理由：∵AE=t,AC=8，

∴CE=8-t，

∵EF是圓的直徑，

∴∠EMF=90°，

∴∠EMC=∠BAC=90°，

∵∠MCE=∠ACB，

∴△MCE∽△ACB，

∴ ，

在Rt△ABC中，AC=8，AB=6, ∴BC=10，

∴，

∴CM= ；

（2）當(dāng)時，如圖，由題意得，

，

若，此時，則，即（舍去），

若，此時，則，即；

解得（成立）；

當(dāng)時，如圖，由題意得：，

，

此時，所以不成立；

若，，則，即；

解得（成立）；

當(dāng)時，如圖，由題意得：，

，

若，此時，則，即；

解得（成立）；

若，此時，則，即；

解得（舍去）；

綜上所述，當(dāng)，或時，以點、、為頂點的三角形與相似.