Question

已知直線y=-

3

3

x+m（m＞0）與x軸、y軸分別將于交于點(diǎn)C和點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D，
（1）如果△CDE恰為等邊三角形．求b的值；
（2）設(shè)拋物線交y=ax²+bx+c與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此時(shí)m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)△CDE恰為等邊三角形的條件便可求出b的值；
（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出m值，然后檢驗(yàn)便可知道不存在m使得∠AEC=90°．

解答：解：（1）直線y=-

3

3

x+m（m＞0）與x軸、y軸分別將于交于點(diǎn)C和點(diǎn)E，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

3

m，當(dāng)x=0時(shí)，y=m，
∴C（

3

m，0）E（0，m）
∴CE=

OC2+OE2

=2m．
由題意拋物線y=ax²+bx+c過(guò)E點(diǎn)可得：m=c，
拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
由△CDE恰為等邊三角形可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

m，2m），
∴

3 m=- b 2a 2m= 4ac-b2 4a

解得a=-

1

3m

，b=

2 3

3

；
（2）拋物線的解析式為y=-

1

3m

x²+

2 3

3

x+m，
A（x₁，0）為拋物線交于x 軸的交點(diǎn)，且使∠AEC=90°，
故A點(diǎn)坐標(biāo)為A（-

3

3

m，0），
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式為y=-

1

3m

x²+

2 3

3

x+m，
可得0=-

1

3m

（-

3

3

m）²+

2 3

3

（-

3

3

m）+m，
解得m=0，不符合題意，
故不存在m使得∠AEC=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．