Question

如圖，直線交x軸于A，該直線與拋物線在第二象限內的交點是B，BD⊥x軸，垂足為D，且△ABD的面積是9．
（1）求點B的坐標及拋物線的解析式；
（2）拋物線與直線y₁的另一個交點為Q，P是線段QB上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，若P的坐標是（m，n），請用關于m的代數式表示線段PE長度；
（3）連接線段BE，QE，是否存在P點，使△QBE的面積S最大？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線解析式求出點A的坐標，再設點B的橫坐標為x，根據直線解析式表示出縱坐標，然后再根據△ABD的面積是9列出方程即可求出x的值，然后得到點B的坐標，把點B的坐標代入拋物線解析式求出a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）聯立直線的解析式與拋物線的解析式求出點Q的坐標，發(fā)現點A與點Q重合，再分別求出橫坐標為m時的點P與點E的縱坐標的長度，根據兩點間的距離即可表示出線段PE的長度；
（3）根據S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，兩三角形都以PE為底邊，根據三角形面積公式列式并整理，然后再根據二次函數的最值問題進行求解．
解答：解：（1）當y=0時，-x+2=0，
解得x=4，
∴點A的坐標是（4，0），
設點B的橫坐標是x，則縱坐標為-x+2，
∴S_△ABD=（4-x）×（-x+2）=9，
整理得，（x-4）²=36，
解得x=-2或x=10（舍去），
-x+2=-×（-2）+2=3，
∴點B的坐標是（-2，3），
∵直線與拋物線在第二象限內的交點是B，
∴4a-×（-2）-2=3，
解得a=，
∴拋物線的解析式是y=x²-x-2；
故答案為：B（-2，3）；拋物線的解析式是y=x²-x-2；

（2）直線與拋物線解析式聯立得，，
解得，，
∴點Q坐標是（4，0），
∵點A坐標也是（4，0），
∴點Q與點A重合，
∵P是線段QB上的一個動點，P的坐標是（m，n），
∴n=-m+2，
點E的縱坐標是m²-m-2，
∴PE=（-m+2）-（m²-m-2）=-m²+m+4；

（3）假設存在點P（m，n），
則S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，
=×（-m²+m+4）×[m-（-2）]+×（-m²+m+4）×（4-m），
=×（-m²+m+4）×（m+2+4-m），
=-（m²-2m-8），
=-（m-1）²+，
∵-＜0，
∴存在點P，使△QBE的面積S最大，
當點P的橫坐標m=1時，△QBE的面積S最大值是，
此時n=-×1+2=，
∴點P的坐標是（1，）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有三角形面積的求解方法，待定系數法求函數解析式，兩點的距離公式，解一元二次方程，綜合性較強，難度較大，設計本題的巧妙指出在于點A與點Q正好重合，是道不錯的好題．