Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)，與y軸交于點(diǎn)A(0，5)，與x軸交于點(diǎn)E，B.

（1）求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)P在AC上方)，作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對稱軸上，使得以A，E，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a +9，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣ +9=- +4x+5
（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，- +4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；設(shè)P（x，﹣ +4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=- +4x+5+x﹣5=- +5x， ∵AC=4， ∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2（- +5x）=-2 +10x，
∴當(dāng)x= 時(shí)， ∴S四邊形APCD最大= ，
（3）解：如圖，

過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，∵M(jìn)N∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3或x=1，當(dāng)x=1時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，當(dāng)x=3時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直線AE解析式為y=5x+5，
∵M(jìn)N∥AE，∴MN的解析式為y=5x+b，∵點(diǎn)N在拋物線對稱軸x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵M(jìn)N=AE ∴MN2=AE2 ， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8）， ∴點(diǎn)M1 ， M2關(guān)于拋物線對稱軸x=2對稱，
∵點(diǎn)N在拋物線對稱軸上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13），
當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）
【解析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a ( x 2 ) 2 +9，，把點(diǎn)A(0，5)代入解析式，即可求出解析式；（2）最值問題可利用函數(shù)思想解決，以P橫坐標(biāo)為自變量x，四邊形APCD的面積為函數(shù)，構(gòu)建關(guān)系式，配成頂點(diǎn)式，求出最大值;（3）可利用平行四邊形的性質(zhì)，對邊平行且相等，即MN∥AE，MN=AE，△HMN≌△AOE，可求出MN 的解析式，利用兩點(diǎn)間距離公式建立方程，求出坐標(biāo).