設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a2=1,an=7an-1-an-2,n≥3.證明:對于每個(gè)n∈N*,an+an+1+2皆為完全平方數(shù).
考點(diǎn):完全平方數(shù)
專題:
分析:首先易求得數(shù)列開初的一些項(xiàng)為:1,1,6,41,281,1926,…,注意到,a1+a2+2=22,a2+a3+2=32,a3+a4+2=72a4+a5+2=182,…,則構(gòu)作數(shù)列{xn}:x1=2,x2=3,xn=3xn-1-xn-2,n≥3,則對每個(gè)n∈N*,xn為正整數(shù),首先證明則f(k)-f(k-1)=(xkxk+2-
x
2
k+1
)-(xk-1xk+1-
x
2
k
)
=3xkxk+1-3xk+1xk=0,進(jìn)而得出an+1+an+2+2=(7an-an-1)+(7an+1-an)+2=7(an+an+1+2)-(an-1+an+2)-10=7
x
2
n
-
x
2
n-1
-10
=
x
2
n+1
即可得出答案.
解答:證明:易求得數(shù)列開初的一些項(xiàng)為:1,1,6,41,281,1926,…,
注意到,a1+a2+2=22,a2+a3+2=32,a3+a4+2=72,a4+a5+2=182,…,
構(gòu)作數(shù)列{xn}:x1=2,x2=3,xn=3xn-1-xn-2,n≥3,則對每個(gè)n∈N*,xn為正整數(shù).
我們來證明:對于每個(gè)n∈N*,皆有:an+an+1+2=
x
2
n

引理:數(shù)列{xn}滿足:對于每個(gè)k∈N*,xkxk+2-
x
2
k+1
=5

引理證明:令f(k)=xkxk+2-
x
2
k+1

f(k)-f(k-1)=(xkxk+2-
x
2
k+1
)-(xk-1xk+1-
x
2
k
)

=(xkxk+2+
x
2
k
)-(
x
2
k+1
+xk-1xk+1)

=xk(xk+2+xk)-xk+1(xk+1+xk-1
=3xkxk+1-3xk+1xk=0.
所以f(k)=f(k-1),于是f(k)=f(k-1)=f(k-2)=…=f(1)=x1x3-
x
2
2
=5

回到本題,對n歸納,據(jù)數(shù)列{an}的定義,a1+a2+2=4=
x
2
1
, a2+a3+2=9=
x
2
2
,
若結(jié)論直至n(n≥2)皆已成立,則對于n+1,
有an+1+an+2+2=(7an-an-1)+(7an+1-an)+2
=7(an+an+1+2)-(an-1+an+2)-10
=7
x
2
n
-
x
2
n-1
-10

=(3xn)2-
x
2
n-1
-2
x
2
n
-10

=(3xn-xn-1)(3xn+xn-1)-2
x
2
n
-10

=xn+1(xn+1+2xn-1)-2
x
2
n
-10

=
x
2
n+1
+2(xn-1xn+1-
x
2
n
-5)

=
x
2
n+1

即在n+1時(shí)結(jié)論也成立.
故本題得證.
點(diǎn)評:此題主要考查了完全平方數(shù),首先證明an+an+1+2=
x
2
n
,進(jìn)而得出an+1+an+2+2=
x
2
n+1
是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知C、D是線段AB上的兩點(diǎn),且AC=
1
3
AB,BD=
1
3
BC,圖中一共有
 
條線段;若所有線段的長度的總和為31,則AD=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列計(jì)算正確的是(  )
A、
2×3
=
2
×
3
B、
2
+
3
=
5
C、2+
2
=2
2
D、
(-4)(-9)
=
-4
-9

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了解2013年河北中考數(shù)學(xué)試卷學(xué)生得分情況,某小組從中隨機(jī)抽查了1000份進(jìn)行分析,下列說法中不正確的是( 。
A、以上調(diào)查方式屬于抽樣調(diào)查
B、總體是所有考生的數(shù)學(xué)試卷
C、個(gè)體指每個(gè)考生的數(shù)學(xué)試卷
D、樣本容量指所有抽取的1000份試卷

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在圖中,以O(shè)為位似中心,分別把四邊形ABCD放大到原來的2倍和縮小為原來的
1
2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)圖1中,以O(shè)為位似中心,把△ABC放大到原來的2倍;
(2)圖2中,以O(shè)為位似中心,把△ABC縮小為原來的
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在?ABCD中,AB∥EF,若AB=1,AD=2,AE=
1
2
AB,則?ABFE與?BCDA相似嗎?說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

二次函數(shù)y=2x2-x,當(dāng)x
 
時(shí)y隨x增大而增大,當(dāng)x
 
時(shí),y隨x增大而減小.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在實(shí)數(shù):-
π
2
,
1
3
,|-5|,
39
,0.202002…,-
14
,(
3
-1)0
中,無理數(shù)有( 。
A、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)

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同步練習(xí)冊答案