Question

把邊長(zhǎng)分別為4和6的矩形ABCO如圖放在平面直角坐標(biāo)系中，將它繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形EDCF．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)△CBD是等邊三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是

 

（a為銳角時(shí)）；
（3）如圖②，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)G，當(dāng)EG=CG時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（4）如圖③，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=90°時(shí)，請(qǐng)判斷矩形EDCF的對(duì)稱中心H是否在以C為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線上．

Answer 1

分析：（1）依題意得點(diǎn)E在射線CB上，橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)根據(jù)勾股定理可得點(diǎn)E．
（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．
（3）設(shè)CG=x，則EG=x，F(xiàn)G=6-x，根據(jù)勾股定理求出CG的值．
（4）設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-4）²，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出a值．當(dāng)x=7時(shí)代入函數(shù)解析式可得解．

解答：解．（1）E（4，2

13

）（l分）

（2）60°（2分）

（3）設(shè)CG=x，則EG=x，F(xiàn)G=6-x，
在Rt△FGC中，∵CF²+FG²=CG²，
∴4²+（6-x）²=x²
解得x=

13

3

^，
即CG=

13

3

∴G(4，

13

3

)（4分）

（4）設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-4）²，
把A（0，6）代入，得6=a（0-4）²．
解得a=

3

8

．
∴拋物線的解析式為y=

3

8

（x-4）²（6分）
∵矩形EDCF的對(duì)稱中心H即為對(duì)角線FD、CE的交點(diǎn)，
∴H（7，2）．
當(dāng)x=7時(shí)，y=

3

8

(7-4)2=

27

8

≠2
∴點(diǎn)H不在此拋物線上．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，難度較大．