Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，DB切⊙O于點(diǎn)B，C是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB于點(diǎn)P，與DO的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)E，且ED∥AC，連接CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB=12，OP：AP=1：2，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBD=90°，然后利用SAS證出≌，可得∠OCD=∠OBD=90°，從而證出結(jié)論；

（2）根據(jù)圓的直徑和線段比，求出OB、OA、OC、OP和AP，證出∽，列出比例式即可求出EO，再證出∽，列出比例式即可求出OD，從而求出結(jié)論．

（1）證明：連接OC．

∵DB切⊙O于點(diǎn)B，

∴∠OBD=90°．

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO．

∵OD∥AC，

∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠BOD，

∴∠COD=∠BOD．

又∵OC=OB，OD=OD，

∴≌ (SAS)，

∴∠OCD=∠OBD=90°，即CD是⊙O的切線．

（2）解：∵AB=12，AB是直徑，

∴OB=OA=6．

∵OP∶AP=1∶2，

∴OP=2，AP=4．

∵∠APC=90°，OC=6，

∴PC=，AC=．

∵ED∥AC，

∴∽，

∴，

即，

解得．

∵∠EPO=∠B=90°，∠EOP=∠DOB

∴∽，

∴，

∴，

解得：，

∴ED=EO+OD=．