Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上的一點，點C是的中點，弦CM垂直AB于點F，連接AD，交CF于點P，連接BC，∠DAB＝30°

(1)求∠ABC的度數(shù)；

(2)若CM＝8，求的長度．(結果保留π)

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）

【解析】試題分析：

（1）如圖，

連接BD，由點C是的中點，易得∠ABC=∠ABD，而BD是圓的直徑可得△ABD是直角三角形，再由∠A=30°就可求得∠ABD，從而求得∠ABC；

（2）連接OC，由（1）中結論易得∠AOC=60°，所以我們只需在Rt△OFC中，利用垂徑定理求得CF，再利用“直角三角形中30°的角所對直角邊等于斜邊的一半”和“勾股定理”可求得OC，最后用“弧長公式”求的長；

試題解析：

(1)連接BD，∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝30°，

∴∠ABD＝90°－30°＝60°，

∵C是的中點，

∴∠ABC＝∠DBC＝∠ABD＝30°；

(2)連接OC，則∠AOC＝2∠ABC＝60°，

∵CM⊥直徑AB于點F，

∴CF＝CM＝，∠CFO=90°，

∴在Rt△COF中，∠OCF=30°，

∴OC=2OF，OF2+CF2=OC2，即，

解得：OF=4，∴OC=8，

∴的長度為.