【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系中,拋物線Cyx軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點Dy軸正半軸上一點.且滿足ODOC,連接BD,

1)如圖1,點P為拋物線上位于x軸下方一點,連接PBPD,當(dāng)SPBD最大時,連接AP,以PB為邊向上作正BPQ,連接AQ,點M與點N為直線AQ上的兩點,MN2且點N位于M點下方,連接DN,求DN+MN+AM的最小值

2)如圖2,在第(1)問的條件下,點C關(guān)于x軸的對稱點為E,將BOE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到B′O′E′,將拋物線y沿著射線PA方向平移,使得平移后的拋物線C′經(jīng)過點E,此時拋物線C′x軸的右交點記為點F,連接E′F,B′F,R為線段E’F上的一點,連接B′R,將B′E′R沿著B′R翻折后與B′E′F重合部分記為B′RT,在平面內(nèi)找一個點S,使得以B′R、T、S為頂點的四邊形為矩形,求點S的坐標(biāo).

【答案】解:(1);(2)(,3+)或(﹣,)或(﹣2,2).

【解析】

1)由拋物線解析式求點A、B、C坐標(biāo),由OD=OC求點D坐標(biāo).設(shè)點P橫坐標(biāo)為t,可用待定系數(shù)法求得用t表示的直線PB解析式,即能用t表示PBy軸交點G的坐標(biāo),進(jìn)而用t表示DG的長.以DG為界把PBD分成左右兩邊的PDGBDG,則以DG為底計算易求得PBD面積與t的二次函數(shù)關(guān)系式,求對稱軸即得到PBD最大時t的值,進(jìn)而得到點P坐標(biāo).求得∠ABP=30°,即x軸平分∠PBQ,故點P、Q關(guān)于x軸對稱,得到點Q坐標(biāo),進(jìn)而得到直線AQ解析式,發(fā)現(xiàn)∠QAB=PAB=60°.作直線AP,可得直線AQAP夾角為60°,過點MMHAPH,即構(gòu)造出特殊RtMAN,得到MH=AM.把點D平移到D',使DD'MNDD'=MN,構(gòu)造平行四邊形MNDD',故DN=D'M.所以DN+MN+AM可轉(zhuǎn)化為MN+D'M+MH.易得當(dāng)點D'、M、H在同一直線上時,線段和會最短,即過D'D'KAPK,D'K的值為所求.根據(jù)平移性質(zhì)求D'坐標(biāo),求直線D'K與直線AP解析式,聯(lián)立方程組求得K的坐標(biāo),即求得D'K的長.

2)拋物線平移不改變開口方向和大小,再求得點E坐標(biāo)和點A坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求平移后的解析式,進(jìn)而求得點F.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得ABB'AEE'為等邊三角形,求出點E'、B'坐標(biāo),B'Fx軸且B'E'F為含30°的直角三角形.把點RE'移動到F的過程,發(fā)現(xiàn)∠RB'T一定小于90°,不可能成為矩形內(nèi)角,故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°.點T可以在E'F上,也可以在B'F上,畫出圖形,根據(jù)含30°的直角三角形三邊關(guān)系計算各線段長,即能求點S坐標(biāo).

解:(1)如圖1,過點DDD'MN,且DD'MN2,連接D'M;過點D'D'Jy軸于點J;

作直線AP,過點MMHAP于點H,過點D'D'KAP于點K

y0

解得:x1=﹣3,x21

A(﹣3,0),B1,0

x0時,y=﹣

C0,﹣),OC

ODOC,D0

設(shè)Pt t2+t)(﹣3t1

設(shè)直線PB解析式為ykx+b,與y軸交于點G

解得:

∴直線PBy=(t+xt,G0,﹣t

DG﹣(﹣t)=t+

SBPDSBDG+SPDGDGxB+DG|xP|DGxBxP)=t+)(1t)=﹣t2+4t5

t=﹣=﹣2時,SBPD最大

P(﹣2,﹣),直線PB解析式為yx,直線AP解析式為y=﹣x3

tanABP

∴∠ABP30°

∵△BPQ為等邊三角形

∴∠PBQ60°,BPPQBQ

BA平分∠PBQ

PQx軸,PQx軸交點IPQ中點

Q(﹣2

RtAQI中,tanQAI

∴∠QAI=∠PAI60°

∴∠MAH180°﹣∠PAI﹣∠QAI60°

MHAP于點H

RtAHM90°sinMAH

MHAM

DD'MNDD'MN2

∴四邊形MNDD'是平行四邊形

D'MDN

DN+MN+AM2+D'M+MH

D'KAP于點K

∴當(dāng)點D'M、H在同一直線上時,DN+MN+AM2+D'M+MH2+D'K最短

DD'MND0,

∴∠D'DJ30°

D'JDD'1,DJDD'

D'1,

∵∠PAI60°,∠ABP30°

∴∠APB180°﹣∠PAI﹣∠ABP90°

PBD'K

設(shè)直線D'K解析式為yx+d

把點D'代入得: +d

解得:d

∴直線D'Kyx+

把直線AP與直線D'K解析式聯(lián)立得:

解得:

K(﹣,

D'K

DN+MN+AM的最小值為

2)連接B'ABB'、EA、E'AEE',如圖2

∵點C0,﹣)關(guān)于x軸的對稱點為E

E0,

tanEAB

∴∠EAB30°

∵拋物線C'由拋物線C平移得到,且經(jīng)過點E

∴設(shè)拋物線C'解析式為:yx2+mx+

∵拋物線C'經(jīng)過點A(﹣3,0

×93m+0

解得:m

∴拋物線C'解析式為:yx2+x+

x2+x+0,解得:x1=﹣3,x2=﹣1

F(﹣1,0

∵將△BOE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'=∠EAE'60°AB'AB1﹣(﹣3)=4AE'AE

∴△ABB'、△AEE'是等邊三角形

∴∠E'AB=∠E'AE+EAB90°,點B'AB的垂直平分線上

E'(﹣32),B'(﹣1,2

B'E'2,∠FB'E'90°E'F

∴∠B'FE'30°,∠B'E'F60°

①如圖3,點TE'F上,∠B'TR90°

過點SSWB'E'于點W,設(shè)翻折后點E'的對應(yīng)點為E'

∴∠E'B'T30°,B'TB'E'

∵△B′E′R翻折得△B'E'R

∴∠B'E'R=∠B'E'R60°B'E'B'E'2

E'TB'E'B'T2

RtRTE'中,RTE'T23

∵四邊形RTB'S是矩形

∴∠SB'T90°SB'RT23

∴∠SB'W=∠SB'T﹣∠E'B'T60°

B'WSB'SWSB'3

xSxB'B'W,ySyB'+SW3+

S,3+

②如圖4,點TE'F上,∠B'RT90°

過點SSXB'F于點X

E'RB'E'1,點E'翻折后落在E'F上即為點T

B'SRTE'R1

∵∠SB'X90°﹣∠RB'F30°

XSB'S,B'XB'S

xSxB'+XS=﹣ySyB'B'X

S(﹣,

③如圖5,點TB'F上,∠B'TR90°

RE'E'B',∠E'=∠B'E'R60°

∴∠E'BE'=∠E'RE'120°

∴四邊形B'E'RE'是平行四邊形

E'RE'R

B'E'RE'是菱形

B'E'E'R

∴△B'E'R是等邊三角形

∵∠B'SR90°,即RSB'E'

∴點SB'E'中點

S(﹣22

綜上所述,使得以B′、R、TS為頂點的四邊形為矩形的點S坐標(biāo)為(3+)或(﹣,)或(﹣22).

練習(xí)冊系列答案
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1)求該拋物線的表達(dá)式及頂點坐標(biāo);

2)點P為拋物線上一點(不與點A重合),連接PC.當(dāng)∠PCB=∠ACB時,求點P的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移,平移后的拋物線的頂點為點D,點P的對應(yīng)點為點Q,當(dāng)ODDQ時,求拋物線平移的距離.

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【題目】工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)技能情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,請將下列過程補充完整:

收集數(shù)據(jù):

從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進(jìn)行了生產(chǎn)技能測試,測試成績(百分制)如下:

整理、描述數(shù)據(jù):

按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

成績

人數(shù)

部門

40≤x≤49

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

0

0

1

11

7

1

(說明:成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70—79分為生產(chǎn)技能良好,60—69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)

分析數(shù)據(jù):

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:

部門

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

783

775

78

81

得出結(jié)論:

.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)約為

.可以推斷出 部門員工的生產(chǎn)技能水平高.理由為

(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,點PAB上一動點(不與AB重合),對角線ACBD相交于點O,過點P分別作ACBD的垂線,分別交AC、BD于點E、F,交ADBC于點MN.下列結(jié)論:①APE≌△AME;②PM+PNAC;③POF∽△BNF;④當(dāng)PMN∽△AMP時,點PAB的中點,其中一定正確的結(jié)論有_____.(填上所有正確的序號).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某種水果按照果徑大小可分為4個等級:標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果,某采購商從采購的一批該種水果中隨機抽取100個,利用它的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:

等級

標(biāo)準(zhǔn)果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

個數(shù)

10

30

40

20

用樣本估計總體,果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考,

方案1:不分類賣出,售價為20/個;

方案2:分類賣出,分類后的水果售價如下:

等級

標(biāo)準(zhǔn)果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

售價(元/個)

16

18

22

24

1)從采購商的角度考慮,應(yīng)該采用哪種購銷方案?

2)若采購商采購的該種水果的進(jìn)價不超過20/個,則采購商可以獲利,現(xiàn)從這種水果的4個等級中任選2種,按方案2進(jìn)行購買,求這2種等級的水果至少有一種能使采購商獲利的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】七年級同學(xué)最喜歡看哪一類課外書?某校隨機抽取七年級部分同學(xué)對此進(jìn)行問卷調(diào)査(每人只選擇一種最喜歡的書籍類型).如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅統(tǒng)計圖(不完整).請根據(jù)統(tǒng)計圖信息,解答下列問題:

1)一共有多少名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查;

2)補全條形統(tǒng)計圖,并求出扇形統(tǒng)計圖中其他所在扇形的圓心角度數(shù);

3)若該年級有400名學(xué)生,請你估計該年級喜歡科普常識的學(xué)生人數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀材料:以下是我們教科書中的一段內(nèi)容,請仔細(xì)閱讀,并解答有關(guān)問題.

公元前3世紀(jì),古希臘學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn):若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比,則杠桿平衡,后來人們把它歸納為杠桿原理,通俗地說,杠桿原理為:

阻力×阻力臂=動力×動力臂

(問題解決)

若工人師傅欲用撬棍動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂不變,分別為1500N0.4m

1)動力FN)與動力臂lm)有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動力臂為1.5m時,撬動石頭需要多大的力?

2)若想使動力FN)不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂至少要加長多少?

(數(shù)學(xué)思考)

3)請用數(shù)學(xué)知識解釋:我們使用棍,當(dāng)阻力與阻力臂一定時,為什么動力臂越長越省力.

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【題目】某大學(xué)為了解學(xué)生在AB兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取了100人,每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行了評分,統(tǒng)計如下:

人數(shù)

滿意度評分

餐廳

非常滿意

較滿意

一般

不太滿意

非常不滿意

合計

A

28

40

10

10

12

100

B

25

20

45

6

4

100

若小蕓要在A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,根據(jù)表格中數(shù)據(jù),你建議她去_____餐廳(填AB),理由是_____

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