【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD,并且始終保持AE=AD,連接CE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)若AF平分∠DAE交BC于F,探究線段BD,DF,FC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)在(2)的條件下,若BD=3,CF=4,求AD的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)結(jié)論:BD2+FC2=DF2.證明見(jiàn)解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)SAS,只要證明∠1=∠2即可解決問(wèn)題;
(2)結(jié)論:BD2+FC2=DF2.連接FE,想辦法證明∠ECF=90°,EF=DF,利用勾股定理即可解決問(wèn)題;
(3)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G,在Rt△ADG中,想辦法求出AG、DG即可解決問(wèn)題.
(1)證明:如圖,
∵AE⊥AD,
∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°,
又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE.
(2)結(jié)論:BD2+FC2=DF2.理由如下:
連接FE,∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠3=45°
由(1)知△ABD≌△ACE
∴∠4=∠B=45°,BD=CE
∴∠ECF=∠3+∠4=90°,
∴CE2+CF2=EF2,
∴BD2+FC2=EF2,
∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠EAF,
在△DAF和△EAF中
,
∴△DAF≌△EAF
∴DF=EF
∴BD2+FC2=DF2.
(3)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G,
由(2)知DF2=BD2+FC2=32+42=25
∴DF=5,
∴BC=BD+DF+FC=3+5+4=12,
∵AB=AC,AG⊥BC,
∴BG=AG=BC=6,
∴DG=BG-BD=6-3=3,
∴在Rt△ADG中,AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,甲轉(zhuǎn)盤(pán)被分成3個(gè)面積相等的扇形,乙轉(zhuǎn)盤(pán)被分成2個(gè)半圓,每一個(gè)扇形或半圓都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后,設(shè)甲轉(zhuǎn)盤(pán)中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為x,乙轉(zhuǎn)盤(pán)中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為y(當(dāng)指針指在邊界線上時(shí),重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向一個(gè)區(qū)域?yàn)橹梗?/span>
(1)請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格的方法,列出所有等可能情況,并求出點(diǎn)(x,y)落在坐標(biāo)軸上的概率;
(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)(x,y)落在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】研究機(jī)構(gòu)對(duì)本地區(qū)18-20歲的大學(xué)生就某個(gè)問(wèn)題做隨機(jī)調(diào)查,要求被調(diào)查者從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選擇自己贊同的一項(xiàng),并將結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖):
大學(xué)生就某個(gè)問(wèn)題調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表 | 大學(xué)生就某個(gè)問(wèn)題調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖 | ||||||||||||
|
請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答以下問(wèn)題:
(1)m=_____,b=_____.
(2)若該地區(qū)18~20歲的大學(xué)生有1.2萬(wàn)人,請(qǐng)估計(jì)這些大學(xué)生中選擇贊同A選項(xiàng)的人數(shù):
(3)該研究機(jī)構(gòu)決定從選擇“C”的人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行訪談,而選擇“C”的這4人中只有一名男性,求這名男性剛好被抽取到的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(7分)某中學(xué)1000名學(xué)生參加了”環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽“,為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并制作了如圖頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整且局部污損,其中“■”表示被污損的數(shù)據(jù)).請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
成績(jī)分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合計(jì) | ■ | 1 |
(1)寫(xiě)出a,b,c的值;
(2)請(qǐng)估計(jì)這1000名學(xué)生中有多少人的競(jìng)賽成績(jī)不低于70分;
(3)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)宣傳活動(dòng),求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B兩地之間為直線距離且相距600千米,甲開(kāi)車(chē)從A地出發(fā)前往B地,乙騎自行車(chē)從B地出發(fā)前往A地,已知乙比甲晚出發(fā)1小時(shí),兩車(chē)均勻速行駛,當(dāng)甲到達(dá)B地后立即原路原速返回,在返回途中再次與乙相遇后兩車(chē)都停止,如圖是甲、乙兩人之間的距離s(千類)與甲出發(fā)的時(shí)間t(小時(shí))之間的圖象,則當(dāng)甲第二次與乙相遇時(shí),乙離B地的距離為_____千米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BC是經(jīng)過(guò)⊙H的圓心,交⊙H于點(diǎn)D、E,AB、AC是圓的切線,F、G是切點(diǎn).
(1)求證:BH=CH;
(2)填空:①當(dāng)∠FHG= 時(shí),四邊形FHCG是平行四邊形;
②當(dāng)∠FED= 時(shí),四邊形AFHG是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對(duì)稱軸是x=﹣1,且過(guò)點(diǎn)(﹣3,0),下列說(shuō)法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(3,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2,其中說(shuō)法正確的是( 。
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰三角形中,,作交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.
(1)在圖1中,求證:;
(2)在圖2中的線段CB上取一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P作交CM于點(diǎn)E,作交BN于點(diǎn)F,求證:;
(3)在圖3中動(dòng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上,類似(2)過(guò)P作交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(7分)未參加學(xué)校的“我愛(ài)古詩(shī)詞”知識(shí)競(jìng)賽,小王所在班級(jí)組織了依次古詩(shī)詞知識(shí)測(cè)試,并將全班同學(xué)的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).以下是根據(jù)這次測(cè)試成績(jī)制作的不完整的頻率分布表和頻率分布直方圖.
請(qǐng)根據(jù)以上頻率分布表和頻率分布直方圖,回答下列問(wèn)題:
(1)求出a、b、x、y的值;
(2)老師說(shuō):“小王的測(cè)試成績(jī)是全班同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)”,那么小王的測(cè)試成績(jī)?cè)谑裁捶秶鷥?nèi)?
(3)若要從小明、小敏等五位成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)中隨機(jī)選取兩位參加競(jìng)賽,請(qǐng)用“列表法”或“樹(shù)狀圖”求出小明、小敏同時(shí)被選中的概率.(注:五位同學(xué)請(qǐng)用A、B、C、D、E表示,其中小明為A,小敏為B)
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